数列求和的几种有效方法

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1、满由以上等式推测到一个一般的结论：c：+1+c；+1+c：+1+⋯+Cu4n+：=24一。+对于n∈N，川+川++⋯+(一1)2．r,4n+1u4n+1一——。评注：类比推理的一般步骤是：(1)找出两分析：这是一类比创新题，结论由两项构类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事成，第二项前有符号，寻找出规律即可．物的性质去推测另一类事物的性质(或更一般解：结论的规律有：①结论有两项组成，两的结论)，得出(猜想出)一个明确的命题．项的指数分别为2，2，②第二项前有符号础里萼25I)：lll为(一1)，于是对∈N，则有一般的结论为●张娟数列求和的几种有效方法数列求和是数列的一个重要内容，

2、题型灵求和一个等比，一个等差，一常数列．活多样，它是数列与极限、数列与数学归纳法有解：S=01+Ⅱ2+n3+⋯+0=(2+2机联系的桥梁，在高考中经常出现，所以学好数+1)+(2+4+1)+(2。+6+1)+⋯+(2列求和是非常必要的．首先要认真分析数列的+2n+1)=(2+2。+2+⋯+2)+(2+4通项，其次应熟练掌握常见的几种求和方法。+6+⋯+2n)+n=+=一、分组求和：根据所给式子的特点，进行适当分组。然后分别求和．2++2n一2侈41求S=一1+3—5+7一⋯+点评：在直接运用公式法求和有困难时，常(一1)(2n一1)将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用解：按n为

3、奇偶数进行分组，连续两项为一公式法求和．组．当n为奇数时，二、倒序相加：把数列倒写和正写再相加，S=(一1+3)+(一5+7)+(一9+11)(即等差数列求和公式的推导过程和推广)例3求证+3c+5c：+⋯+(2n++⋯(一2n+1)=2×_+(一2n+1)=1)C：=2(凡+1)．分析：由于等差数列{2n+l}中与首末两当n为偶数时端等距离的两项之和相等，数列{c：}中与首末S=(一1+3)+(一5+7)十(一9+11)两端等距离的两项之和相等，因此可采用倒序+⋯[(一2n+3)+(2n一1)]=2×-4“-=n相加法．解：设S=+3c+5c：+⋯+(2+f—为奇数—1)C：【nn

4、为偶数．则S=(2n+1)c：+(2n—1)c+(2n例2数列{n}，若。的通项公式0=2+2n+1，求此数列的前n项和S．一3)c：一+⋯+c：’分析：由通项公式可以发现此数列是由三所以2s=(2n+2)(c：+c+c+⋯+部分构成，2，2n，1也就是构成了三个数列的C：)=(2n+2)X2·l8·所以S=(+1)2a+2—2a川+a=0(N)点评：关键是抓住数列中与首末两端等距(1)求数列{a}的通项公式，(2)求S=l离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加．a1I+la2J+la3I+⋯+Ia1等差数列的求和公式也是通过倒序相加的方法分析：(1)由条件可知数列{a}为等差数求出

5、来的，但此方法应用范围有些窄．列，由定义写出通项公式．(2)注意到n≤5，I三、错位相减al=a，n>5时，IaI=一a．应分为≤5如果数列的每一项可分解成两个数列的乘和n>5两种情况进行分类讨论．积，各项的第一个因子成公差为d的等差数列，解：(1)由a+2—2a+1+a=0知a+2一第二个因子成公比为g的等比数列，可将此数n川=a+一a，所以{0}为等差数列．列的前n项和乘以公比g，然后进行错位相减，又因为a=a+3d所以d=一3所以从而求出前rt项和．a=a1+(一1)d=8+(n一1)×(一2)=例4求数列a，2a，3a。，4a⋯na(a为常1O一2n．数)的前rt项和．(2)

6、当n≤5时，S=la1l+la2I+l03I+解：(1)若a=1，贝0S=1+2+3+⋯+⋯+laI=al+a2+a3+⋯+a=凡：．：9一凡2(2)若a≠1，贝0S=a+2n+3口’+40当n>5时，S=la1l+la2l+l03l+⋯+⋯+nanaS=a2+2口+30+4n+⋯++IaⅡI=a1+a2+a3+⋯+a5—06一a7一⋯，(n一1)a“+rta”两式相减得(1一a)S=a+一a=S5一(S一S5)=2S5一S=40—9n+2n口+0。+n+⋯+nn凡0n+l一==一nn十1所以s：f97(5．Ln‘一9，z+40(n>5)则．s一点评：这道数列题综合性较强，主要考查等

7、差数列定义、通项、求和、单凋性，基本上都是先判断后计算．首先根据数列的定义，判出{a}综上⋯所述、Sf一(n≠1)：』【(一。)一。、为等差数列，求出通项；根据通项，判断从几项(。：1)开始变号，然后分两种情形分别求和，最后综合到一起；数列求和的重点是化简数列的通项公点评：数列{na}是由数列{n}与{a}对式，整理化简数列的通项公式，应是数列求和首应项的积构成的，只有此类型的才适合用错位先考虑的问题，非等差、等比数列转化为等差、相减，(课本中的等比数列的