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1、浅谈数列求和的几种常用方法陕西省咸阳市西工大启迪中学何永平浅谈数列求和的几种常用方法摘要：本文旨在讲述数列求和的意义，一些简单的特殊数列求和的方法，理解数列求和中蕴含的数学思想。并能利用数列求和解决一些数列问题。关键词：宜接求和法、倒序相加求和法、分组求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法。在高中数学的学习过程中，数列是高中数学的重耍内容，其相关知识在历届高考占有相当垂耍的位置，其中最垂耍的是等差数列和等比数列的和。数列求和的常用方法有直接求和法，倒序相加求和法，错位相减求和法，分组转化求和法，裂项相消求和法等，下面就简耍的谈谈这些方法。一、直接求和法如果所给数列是等差数列或等比数列，那么
2、它们的求和问题，可以直接利用等差或等比数列求和公式解决。(1)等差数列的而n项和公式：(2)等比数列的前n项和公式:①当q二1时，Sn=naY；②当qHl时，S”二止也二丄-牧.1-q1-ql-q(3)常见的求和：1+2+3+••・+n=虫凹21+3+5+7+•••(2n-l)=n22+4+6+S+•••2n=n(n+1)12+22+32+---n2=-n(n+lX2n+l)6例1.求数列:歸右…的前n项和.解：因为数列是个等比数列,_1变式练习1・已知log；log2所以前n项和S”—1——2辽丿1:——-=1I12"1—2求兀+兀2+F+…+疋+…的前n项和。【解析】:由1。沪豈可得1
3、。沪_1喝,所以兀专,所以2丿=1-1in二、倒序相加求和法如果一个数列｛〜｝中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法。例2：求1,2,3,•••,100这样一个等差数列的和.解：设这个等差数列的和为S”S"）二1+2+3+••-+100,①再把项的次序反过来，可以写成S1（X）=100+99+-•・+1,②把①，②两式等号两边分别相加，得2S
4、（）（产101+101+•••+101+101,因为有100个101,所以2S1（）o=101X100=10100即2S100=10100所以S
5、
6、（x）=5050.变式练习2.求证：C：：+3C：+5C：+…+（2n+1）C；；=（n+1）2"・三、分组求和法把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，或把整个数列分成两部分，使其转化成等差或等比数列，这一方法称为分组求和法。例3：在数列血｝中,4=2,an+[=4an-3n+1,nWN*（1）证明：数列｛色-〃｝是等比数列；（2）求数列仏｝的前n项和S”・（1）证明：由题设。”+]=4g“-3刃+1得an+]-（«+!）=4（an-n）,nUN*乂⑷一1=1,所以数列｛〜-“｝是首项为1,且公比为4的等比数列.（2）解：由（1）可知a/J-n=4fl-1于是数列仏｝的通项公式为°
7、”=4心+斤,所以数列仏｝的前n项和S”=(4。+1)+0+2)+(42+3)+・・・(4心+n)=(1+2+3+•••zz)+(l+4I+42+・・・+4”t)_n(n-t-1)1-4"2+1—4_n(n+1)4"-12-*3变式练习3.Sn=—1+3—5+7（-1）"（2"+1）【提示】:按n为奇偶数进行分组，连续两项为一组.四、错位相减求和法这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主耍用于求数列｛an-bn｝的前n项和，其中仏｝、｛乞｝中一个是等差数列,一个是等比数列，求和吋一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，
8、转化为同倍数的等比数列求和。这种方法叫错位相减法。例4：求S”二丄+三+2+・・・+丄为常数）的和.acTaan解:当a=1时Sn=1+2+3+・・f=D；…(1)…⑵当dHl时S“=丄+—+2+・・・+上1111acTaan1A(1)-(2)得1-1S”anan(°-1)2综上所述：S"/7(n+l)d(a”_])~n(a_l)an(a-)2(a=l)仙)ci^ci'1—lj—n(ci—1)•:»_・变式练习4•求和：S/1+弓十斗+・・五、裂项相消求和法把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差。在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干项之和，这一求
9、和方法称为裂项相消求和法。常见的拆项公式有1_1n(n+1)n1_1n[n+k)k(1)(3)__1_n+1Q__1_n+ky1117(2〃-讯2”+1)一㊁12刃-1一2刃+1丿(4)—=~+-Vn+V«+1例5：等比数列仏｝的各项均为止数，且2%+3°2=1卫9a2a6.(1)求数列仏｝的通项公式;(2)设仇=log?+log?+…log?,求数列V的前n项和7；.解：设数列｛%｝的公比为q,由得a；=9a：,
