高考递推数列问题展评

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1、高考递推数列问题展评一简要回顾数列的递推关系式，其内涵极为丰富，同时具有很强的规律性，可与函数、三角、不等式、平面几何、解析几何等许多知识、方法相结合，编拟开放式、探索式等多种题型的试题，是培养创新意识和创新能力的极好素材；同时又为进入高校学习级数等内容打下基础，可以比较充分地考查后继学习的潜力，因而倍受高考命题设计者的重视．纵观高考对递推数列的考查，大体经历了三个阶段：第一阶段是，恢复高考制度（1977年）至二十世纪80年代，对与相邻项或（及）之间的关系的考查，有逐渐加深加难以至脱离中学教学实际的倾向，故80年代

2、末国家考试中心明确提出对数列的考查，不再涉及递推关系；第二阶段，二十世纪90年代，由于明确要求不再考递推关系，转向主要考查等差等比数列的综合问题及其与的递推关系（主要用）问题；第三阶段是近些年尤其是进入21世纪这5年来，由于国家推行新课程改革，借鉴美、英、日等国课改经验，实验新教材，高考对递推数列的考查又热起来，出现了与多方面的知识、方法交汇融合的现象，并且更加强化了对（递推）数列应用问题的考查；解答方法更多，解题手段也更灵活巧妙，凸显了与时俱进、以能力立意的高考原则和方向。二求解策略1．型以数列尤其是等差或等比数

3、列中与的递推关系式为主设计的试题，其求解策略是：求解策略之一　　充分利用这一关系式提供的信息特征，构造能相减的递推式，转化为等差或等比数列来求解；或通过叠加、裂项，使相邻项连续相消，求和化简来解决．例1（2005年山东卷）已知数列中，为数列的前项和）。（Ⅰ）试证明是等比数列；（Ⅱ）设求在点处的导数，并比较2与的大小。简析（Ⅰ）由①易得②，于是②—①得即验证上式对也成立，故是等比数列。（Ⅱ）略。例2（2004年全国卷Ⅲ）已知数列的前项和满足（Ⅰ）写出数列的前3项；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数，有简

4、析（Ⅰ）（Ⅲ）略，只解析（Ⅱ）：由已知得：当时即由此式求通项，提供以下两种方法：法1（迭代法）上式对也成立。法2（转化法）在递推式两边同除以可得于是有上式对也成立。又如1994年全国卷题：设是正数组成的数列，其前n项和为10，并且对所有的自然数n,与2的等差中项等于与2的等比中项．（I）写出的前3项；（II）写出的通项公式（写出推证过程）（本题提供的递推关系式为，解略．）2．型主要分析如下3种类型：（1）其中，证明=（高中《代数》）必修本下册第34题）．本型与下面的型递推数列是近些年来高考设计试题的主要类型。其求解

5、方法较多，主要策略有：求解策略之二（猜证法）通过前几项的运算，或列出算式（不予计算结果，以便于分析结构特征，揭示本质规律），或算出结果（从结果分析寻找规律）依此为根据猜想通项公式，然后用数学归纳法给予证明．猜想法是解决数列问题的重要方法，考试说明有明确要求；同时，能自觉使用猜想一证明的方法分析解决问题，来探索未知领域的奥秘，也是科学研究的必备素质，故历年高考曾从不同角度不同层次进行过多次考查．例3（2005年浙江卷）已知点列抛物线其中满足：在抛物线上，点到的距离是到上点的最短距离，在抛物线上，点到的距离是到上点的最

6、短距离。（I）求及的方程；（II）证明是等差数列。简析（I）本题属解析几何与递推数列结合的综合题，可以根据所给递推规律结合画图象来直观分析寻找递推关系式：猜想，再用数学归纳法予以证明（具体过程略）。类似的有2002年春招题：已知点的序列其中，是线段的中点，是线段的中点，是线段的中点，（I）写出与，之间的关系式（；(II)设，计算，由此推测数列通项公式，并加以证明；(III)求．（（I）．（II），，猜想．证略）值得注意的是：从几何背景中产生双递推数列，有2004年浙江卷第（22）题：如图，的三个顶点坐标分别为，设分

7、别为线段的中点，对于每一个正整数，为线段的中点，令的坐标为（Ⅰ）求及；（Ⅱ）证明；（Ⅲ）若记，证明是等比数列。2004年对几何背景型递推数列问题的考查，还有北京卷第（18）题、湖南卷第（22）题等，尤其是2004年上海卷第（22）题第（3）问是在第（2）问的基础上展开的类比推理型开放性问题，答案多种多样，丰富多彩，为还给学生自由探索的时空创设了一个极好的探索先机！由此可见，几何背景型递推数列问题，因其直观形象、并能够综合考查学生的数学能力而成为高考苑中的一朵奇葩！10求解策略之三（待定系数法）　　，令则.故是首项为

8、,公比为的等比数列．,即.例4(2000年春招京皖卷)已知函数其中,.(I)略,(II)设()的反函数为,,,求数列的通项公式，并求.简析本题是递推数列与函数有关知识有机结合的典型例子：，故有，．设，即．令得．即．故是等比数列：即．求解策略之四（逐差法）　　由①知②，②－①得，是以为首项以为公比的等比数列：，＝＋．如上述2002年春招卷第（III）问：当时进