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1、高考递推数列分类解析江西萍乡中学龚丽珍数列问题在高考中一直占有非常重要的地位，数列综合题以其综合性强、难度大、技巧性高等特点常被作为高考压轴题，用来考查学生在解题过程中的数学思想。从2003年开始，特别是各省市自主命题以来，递推数列又成为命题的热点，且大多以压轴题的姿态出现，而且考查难度有所增加在原有经典题型的基础上，更多地体现了数列与其它知识的交汇，如数列与三角、数列与解析几何、数列与导数、数列与不等式等。因此，研究递推数列的通项公式的求解方法是高考数学复习备考的一个重要任务。本文就近几年各地
2、高考数学题中出现的递推数列的类型作一个分类解析，供广大同行参考。类型1：渗透三角函数周期性数列与三角函数的结合是一类创新试题，利用三角函数的周期性体现数列的变化，利用三角不等式进行放缩是证明数列不等式的常见方法。例1（2008年湖南卷，18，满分12分）数列{an}满足a1=1，a2=2，求a3，a4,并求数列{an}的通项公式；本题分为两种情况，采取非常规的递推数列求通项的方法，利用三角函数的诱导公式寻找递推关系，体现三角函数的周期性，进而求出该数列的通项为一分段数列。例2（2009年江西，文
3、，21，满分12分）数列{an}的通项，其前n项和为（1）求sn；（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn例3（2009年江西，理8，5分）数列{an}的通项，其前n项和为sn，则sn为（）A．470B．490C．495D．510类型2：an+1=an+f(n)解法思路：把原递推公式转化为an+1-an=f(n)，利用累加法（逐差相加法）求解例4（2008，江西，理5）在数列{an}中，a1=2,an+1=an+ln,则an=A．2+lnnB．2+(n-1)lnnC．2+nlnnD．1+n+lnn
4、例5（2009，全国I，理22）在数列{an}中，a1=1,an+1=（1）设，求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和。类型3：an+1=f(n)an解法思路：把原递推公式转化为，利用累乘法（逐商相乘法）求解例6（2004，全国I，理15）已知数列{an}，满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项an=_____解：由已知，得an+1=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1+nan，用此式减去已知式，得当n≥2时，an+
5、1－an=nan，即an+1=（n+1）an，又a2=a1类型4：an+1=pan+q（其中p、q均为常数，且pq(p－1)≠0）解法思路：待定系数法，把原递推公式转化为an+1－t=p(an－t)，其中，再利用换元法转化为等比数列求解，或转化为二队循环数列来解（见后文），或直接用逐项迭代法求解。例7（2008年，安徽，文21）设数列{an}满足a1=a,an+1=can+1－c,n∈N*，其中a、c为实数，且c≠0求数列{an}的通项公式；解：方法一：因为an+1－1=c(an－1)所以当a≠
6、1时，{an－1}是首项为a－1，公比为c的等比数列所以an－1=(an－1)cn－1即an=(an－1)cn－1+1当n=1时，an=1仍满足上式数列{an}的通项公式为an=(a－1)cn－1+1(n∈N*)方法二：由题设得：n≥2时,an－1=c(an－1－1)=c2(an－2－1)=…=cn－1(an－1)=(a－1)cn－1所以an=(a－1)=cn－1+1n=1时，a1=a也满足上式所以{an}的通项公式为an=(a－1)cn－1+1(n∈N*)类型4的变式：an+1=pan+f(n
7、)解法思路：通过构造新数列{bn}，消去f(n)带来的差异，例如下面的类型5：an+1=pan+qn（其中p、q均为常数，pq(p－1)(q－1)≠0）（或an+1=pan+rqn，其中p、q、r均为常数）解法思路：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn+1，得，引入辅助数列{bn}（其中），得即可转化为类型3。或直接将原递推式变形为），（其中），则直接转化为等比数列例8（2006，全国I，理22，12分）设数列{an}的前n项的和求首项a1与通项an。例9（2009，全国II，理19）设数列{
8、an}的前n项的和（1）设，证明数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式。类型6：（其中p，q均为常熟）。解法一（待定系数法）：先把原递推公式转化为，其中s,t满足解法二（特征根法）：对于由递推公式,=,=给出的数列{an}，方程,叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列{an}的通项为，其中A、B由=,=决定（即把和n=1,2,代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A、B由=,=决定（即把和n=1,2，代入，得到关于A、B的方程组）。例10（2006
