高考热点递推数列问题分类解析

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1、高考热点——递推数列问题分类解析近年来的高考数学试题中，常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题，这些问题综合性强、思维力度大，能力要求高，是同学们感到棘手的一类疑难问题。本文从思路、方法到一般结论与模型，进行深入浅出的分类解析。　　1、线性递推问题　　　　此类问题的一般模型是已知(或可求得)线性递推关系：an+1=can+d，a1=b(其中b，c，d均为常数，且c≠0，1)求通项an。常用下述方法求解：　　1.1递推法　　即以an+1=can+d作为递推公式直接进行递推，并归纳得到通项an。　　an=can-1+d=c(can-2+d)+d=c2

2、an-2+(1+c)d=c2(can-3+d)+(1+c)d=c3an-3+(1+c+c2)d=…　　=cn-1a1+(1+c+c2+…+cn-2)d=cn-1b+d=　　∴an=①　　1.2解方程组法　　由an+2-an+1=c(an+1-an)得：数列{an+1-an}是首项为a2-a1=(c-1)b+d，公比为c的等比数列，　　∴an+1-an=[(c-1)b+d]cn-1=bcn+(d-b)cn-1，解方程组消去an+1即得到通项公式①。　　1.3参数法　　对an+1=can+d两端同时加上参数t得：an+1+t=can+d+t=c(an+)

3、，令t=，得t=，数列{an+t}是首项为　a1+t=b+，公比为c的等比数列，　　∴an+t=(b+)cn-1，　　将t=代入并移项即得到通项公式①。　　1.4求和法　　对an+1=can+d两端除以cn+1得：　　，即，　　∴+…+()+　=()+　　=，　　an=cn[]=。　　1.5归纳法　　即先由不完全归纳法得到猜想通项公式①，再应用数学归纳法进行证明。　　[例1](2000年北京春季高考题)已知函数f(x)=-2x+2，x∈[，1]，设f(x)的反函数为y=g(x)，a1=1，a2=g(a1)，…，an=g(an-1)，求数列{an}的通

4、项公式，并求an。　　解析：由g(x)=-x+1、a1=1得：a2=g(a1)=，　　an=g(an-1)=-an-1+1，　　an+2-an+1=(-)(an+1-an)，　　∴an+1-an=(a2-a1)(-)n-1=(-)n，　　an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(-)n-1+(-)n-2+…+(-)+1=[1-(-)n]，　　an=。　　说明：上述五种方法，实际上是给出了将线性递推数列，转化为可求通项的数列的五种转化的办法，这些转化的思想方法，也常用于解决非线性递推问题，应熟练掌握。　　1.6当an

5、+2=pan+1+qan时通项的求法(其中p、q为常数且pq≠0)　　引入参数λ1、λ2使an+2-λ1an+1=λ2(an+1-λ1an),　　即an+2=(λ1+λ2)an+1-λ1λ2an,与原式比较系数得：　　λ1+λ2＝p,λ1λ2=-q,　　即λ1、λ2是方程λ2=pλ+q②的根，方程②称为特征方程，解之可得λ1、λ2及等比数列{an+1-λ1an}，n+1-λ1an=(a2-λ1a1)λ，　　利用求和法可求通项。　　[例2](2002年春季高考题)已知点的序列An(xn，0)，n∈N，其中x1=0，x2=a(a＞0)，A3是线段A1A2

6、的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An-2An-1的中点，…。(I)写出xn与xn-1、xn-2之间的关系式(n≥3)；(II)设an=xn+1-xn，求数列{an}的通项公式；(III)求xn。解析：(I)当n≥3时，xn=；　　(II)解λ2=λ+，得λ1=1，λ2=-，∴an+1=-an，∵a1=a，∴an=a(-)n-1(n∈N)；　　(III)∵xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+…+(x2-x1)+x1=an-1+an-2+…+a1，∴xn==a。　　2、非线性递推问题　　下面列举几种非线性递推问题常见类型及其

7、解法。　　2.1关于an+1=can+f(n)型数列通项的求法　　此类问题常用上面介绍的前5种方法求解。　　[例3](1999年高考试题)已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1(n=0，1，2，…)时，该图象是斜率为bn的线段(其中正常数b≠1)，设数列{xn}由f(xn)=n(n=1，2，…)定义。求xn的表达式。　　解析：记x0=0，依题意有f(xn)-f(xn-1)=bn-1(xn-xn-1)=n-(n-1)=1，　　∴xn-xn-1=()n-1xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+…+(x1-x0)+x

8、0=()n-1+()n-2+…+()+1=。　　2.2关于=f(n)型数列通项的求法由=f(n)得：an=·