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1、高考递推数列分类类型1：渗透三角函数周期性数列与三角函数的结合是一类创新试题，利用三角函数的周期性体现数列的变化，利用三角不等式进行放缩是证明数列不等式的常见方法。例1（2008年湖南卷，18，满分12分）数列{an}满足a1=1，a2=2，求a3，a4,并求数列{an}的通项公式；例2（2009年江西，文，21，满分12分）数列{an}的通项，其前n项和为（1）求sn；（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn例3（2009年江西，理8，5分）数列{an}的通项，其前n项和为sn，则sn为（）A．470B．490C．495D．510
2、类型2：an+1=an+f(n)例4（2008，江西，理5）在数列{an}中，a1=2,an+1=an+ln,则an=例5（2009，全国I，理22）在数列{an}中，a1=1,an+1=（1）设，求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和。类型3：an+1=f(n)an解法思路：把原递推公式转化为，利用累乘法（逐商相乘法）求解例6（2004，全国I，理15）已知数列{an}，满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项an=_____类型4：an+1=pan+q（其中
3、p、q均为常数，且pq(p－1)≠0）解法思路：待定系数法，把原递推公式转化为an+1－t=p(an－t)，其中，再利用换元法转化为等比数列求解，或转化为二队循环数列来解（见后文），或直接用逐项迭代法求解。例7（2008年，安徽，文21）16设数列{an}满足a1=a,an+1=can+1－c,n∈N*，其中a、c为实数，且c≠0求数列{an}的通项公式；类型4的变式：an+1=pan+f(n)解法思路：通过构造新数列{bn}，消去f(n)带来的差异，例如下面的类型5：an+1=pan+qn（其中p、q均为常数，pq(p－1)(q
4、－1)≠0）（或an+1=pan+rqn，其中p、q、r均为常数）解法思路：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn+1，得，引入辅助数列{bn}（其中），得即可转化为类型3。或直接将原递推式变形为），（其中），则直接转化为等比数列例8（2006，全国I，理22，12分）设数列{an}的前n项的和求首项a1与通项an。例9（2009，全国II，理19）设数列{an}的前n项的和（1）设，证明数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式。类型6：（其中p，q均为常熟）。解法一（待定系数法）：先把原递推公式转化为，其中s,t满
5、足解法二（特征根法）：对于由递推公式,=,=给出的数列{an}，方程,叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列{an}的通项为，其中A、B由=,=决定（即把和n=1,2,代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A、B由=,=决定（即把和n=1,2，代入，得到关于A、B的方程组）。例10（2006，福建，文22）已知数列{an}满足=1,=3，（）。（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若数列{bn}满足（），证明{bn}是等差数列16类型7递推公式为Sn与的关系式（或Sn）解
6、法思路：这种类型一般利用=或=消去进行求解。例11.（2009，湖北，理，19）已知数列{an}的前项和Sn=--+2（为正整数），令=，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式例12（2008，全国II，理，20）设数列{an}的前n项和为Sn，已知=,=Sn+（）,（Ⅰ）设=-，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若≥（），求的取值范围。类型8an+1=pan+an+b(p≠1,a≠0)解法思路：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出，从而转化为是公比p为的等比数列。例13.（2006山
7、东，文，22）已知数列{an}中，=，点在直线上，其中（Ⅰ）令，求证数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项。类型9（p＞0,＞0）解法思路：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例14（2005，江西，理，21）已知数列{an}的各项都是正数，且满足：求数列的{an}通项公式例15（2006，山东，理，22）已知，点在函数的图像上，其中证明数列是等比数列类型10解法思路：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。16例17（2006，江西，理，22，本大题满分14分）已知数列满足：求数列的通项公式
8、；类型11解法思路：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且ph≠qr,r≠0,），那么，可作特征方程，当特征方程有且仅有一根时，则是等差数列；当特征议程有两价目相异的根x1、x2时，则是等比数列。例19(2009
