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1、递推数列分类类型1：渗透三角函数周期性数列与三角函数的结合是一类创新试题，利用三角函数的周期性体现数列的变化，利用三角不等式进行放缩是证明数列不等式的常见方法。例1（2008年湖南卷，18，满分12分）数列{an}满足a1=1，a2=2，求a3，a4,并求数列{an}的通项公式；本题分为两种情况，采取非常规的递推数列求通项的方法，利用三角函数的诱导公式寻找递推关系，体现三角函数的周期性，进而求出该数列的通项为一分段数列。例2（2009年江西，文，21，满分12分）数列{an}的通项，其前n项和为（1）求sn；（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn例3（2009年江西，理8
2、，5分）数列{an}的通项，其前n项和为sn，则sn为（）A．470B．490C．495D．510类型2：an+1=an+f(n)解法思路：把原递推公式转化为an+1-an=f(n)，利用累加法（逐差相加法）求解例4（2008，江西，理5）在数列{an}中，a1=2,an+1=an+ln,则an=A．2+lnnB．2+(n-1)lnnC．2+nlnnD．1+n+lnn例5（2009，全国I，理22）在数列{an}中，a1=1,an+1=（1）设，求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和。类型3：an+1=f(n)an解法思路：把原递推公式转化为，利用累乘法
3、（逐商相乘法）求解例6（2004，全国I，理15）已知数列{an}，满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项an=_____解：由已知，得an+1=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1+nan，用此式减去已知式，得当n≥2时，an+1－an=nan，即an+1=（n+1）an，又a2=a1类型4：an+1=pan+q（其中p、q均为常数，且pq(p－1)≠0）解法思路：待定系数法，把原递推公式转化为an+1－t=p(an－t)，其中，再利用换元法转化为等比数列求解，或转化为二队循环数列来解（见后文），或直接用逐项
4、迭代法求解。例7（2008年，安徽，文21）设数列{an}满足a1=a,an+1=can+1－c,n∈N*，其中a、c为实数，且c≠0求数列{an}的通项公式；解：方法一：因为an+1－1=c(an－1)所以当a≠1时，{an－1}是首项为a－1，公比为c的等比数列所以an－1=(an－1)cn－1即an=(an－1)cn－1+1当n=1时，an=1仍满足上式数列{an}的通项公式为an=(a－1)cn－1+1(n∈N*)方法二：由题设得：n≥2时,an－1=c(an－1－1)=c2(an－2－1)=…=cn－1(an－1)=(a－1)cn－1所以an=(a－1)=cn－
5、1+1n=1时，a1=a也满足上式所以{an}的通项公式为an=(a－1)cn－1+1(n∈N*)类型4的变式：an+1=pan+f(n)解法思路：通过构造新数列{bn}，消去f(n)带来的差异，例如下面的类型5：an+1=pan+qn（其中p、q均为常数，pq(p－1)(q－1)≠0）（或an+1=pan+rqn，其中p、q、r均为常数）解法思路：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn+1，得，引入辅助数列{bn}（其中），得即可转化为类型3。或直接将原递推式变形为），（其中），则直接转化为等比数列例8（2006，全国I22，12分）设数列{an}的前n项的和求首项a1
6、与通项an。例9（2009，全国II，理19）设数列{an}的前n项的和（1）设，证明数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式。类型6：（其中p，q均为常熟）。解法一（待定系数法）：先把原递推公式转化为，其中s,t满足解法二（特征根法）：对于由递推公式,=,=给出的数列{an}，方程,叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列{an}的通项为，其中A、B由=,=决定（即把和n=1,2,代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A、B由=,=决定（即把和n=1,2，代入，得到关于A、B的方程组）。例10（2006，福建，文22）已知数列
7、{an}满足=1,=3，（）。（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若数列{bn}满足（），证明{bn}是等差数列。解：（1），=1,=3，（），是以=2为首项，2为公比的等比数列。（2）（），an=++++=+++2+1=-1（）类型7递推公式为Sn与的关系式（或Sn）解法思路：这种类型一般利用=或=消去进行求解。例11.（2009，湖北19）已知数列{an}的前项和Sn=--+2（为正整数），令=，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式解：在Sn=+2中，令n=1，可得S1=-+
