几类常见递推数列的解法

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1、几类递推数列通项公式的常见类型及解法江西省乐安县第二中学李芳林邮编344300已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出a的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用代数法、迭代法、换元法，或是转化为基本数列（等差或等比）的方法求通项．第一类方法要求学生有一定的观察能力以及足够的结构经验，才能顺利完成，对学生要求高．第二类方法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利求解．在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法．一、型形如（

2、d为常数）的递推数列求通项公式，将此类数列变形得，再由等差数列的通项公式可求得an.例1：已知数列中，求的通项公式.解：∵∴∴是以为首项，3为公差的等差数列.∴为所求的通项公式.二、型形如a＝a+f(n)，其中f(n)为关于n的多项式或指数形式（a）或可裂项成差的分式形式．——可移项后叠加相消．例2：已知数列｛a｝,a＝0,n∈N，a＝a＋（2n－1），求通项公式a．解：∵a=a＋（2n－1）∴a=a＋（2n－1）∴a－a=1、a－a=3、……a－a=2n－3∴a=a＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)=0＋1＋3

3、＋5＋…＋(2n－3)=[1＋(2n－3)](n－1)=(n－1)2n∈N三、型形如（q为常数）的递推数列求通项公式，将此类数列变形得，再由等比数列的通项公式可求得an.例3：已知数列中满足a1=1，，求的通项公式.解：∵∴∴是以为首项，2为公比的等比数列.∴为所求的通项公式.四、型形如可转化为.其中f(n)=（p≠0，m≠0,b–c=km,k∈Z）或=kn（k≠0）或=km(k≠0,0＜m且m≠1)．例4：已知数列｛a｝,a=1，a＞0,(n＋1)a2－na2＋aa=0，求a．解：∵(n＋1)a2－na2＋aa=0∴

4、[(n＋1)a－na](a＋a)=0∵a＞0∴a＋a＞0∴(n＋1)a－na=0∴∴五、a=f(a)型形如a=f(a)，其中f(a)是关于a的函数.-—需逐层迭代、细心寻找其中规律．例5：已知数列｛a｝，a=1,n∈N，a=2a＋3n,求通项公式a．解：∵a=2a＋3n∴a=2a＋3n-1=2(2a＋3n-2)＋3n-1=22(2a＋3n-3)＋2·3n-2＋3n-1=……=2n-2(2a＋3)＋2n-3·32＋2n-4·33＋2n-5·34＋…＋22·3n-3＋2·3n-2＋3n-1=2n-1＋2n-2·3＋2n-3

5、·32＋2n-4·33＋…＋22·3n-3＋2·3n-2＋3n-1六、a＝pa+q型形如a＝pa+q,pq≠0，p、q为常数．当p＝1时，为等差数列；当p≠1时，可在两边同时加上同一个数x，即a+x=pa+q+xa+x=p(a+)，令x=∴x=时，有a+x=p(a+x)，从而转化为等比数列{a+}求解．例6：已知数列{a}中，a=1，a=a+1，n=1、2、3、…，求通项a．解：∵a=a+1a－2=(a－2)又∵a－2=-1≠0∴数列{a－2}首项为-1，公比为的等比数列．∴a－2=-1即a=2－2n∈N七、a＝pa+

6、f(n)型形如a＝pa+f(n)，p≠0且p为常数，f(n)为关于n的函数．当p＝1时，则a＝a+f(n)即类型二．当p≠1时，f(n)为关于n的多项式或指数形式（a）．⑴若f(n)为关于n的多项式（f(n)=kn+b或kn+bn+c，k、b、c为常数），——可用待定系数法转化为等比数列．例7：已知数列{a}满足a=1，a=2a＋n，n∈N求a．解：令a+x[a(n+1)+b(n+1)+c]=2(a+an+bn+c)即a=2a+(2a–ax)n+(2b-2ax–bx)n+2c–ax–bx–cx比较系数得：令x=1，得：

7、∴a+(n+1)+2(n+1)+3=2(a+n+2n+3)∵a+1+2×1+3=7令b=a+n+2n+3则b=2bb=7∴数列{b}为首项为7，公比为2的等比数列∴b=7×2即a+n+2n+3=7×2∴a=7×2－(n+2n+3)n∈N⑵若f(n)为关于n的指数形式（a）．①当p不等于底数a时，可转化为等比数列；②当p等于底数a时，可转化为等差数列．例8：若a=1，a=2a+3，(n=2、3、4…)，求数列{a}的通项a．解:∵a=2a+3∴令a+x×3=2(a+x×3)得a=2a－x×3令-x×3=3x=-1∴a－3

8、=2(a－3)又∵a－3=-2∴数列{}是首项为-2,公比为2的等比数列．∴=-2·2即a=3-2n∈N例9：数列{a}中,a=5且a=3a+3-1(n=2、3、4…)试求通项a．解：a=3a+3-1a3{}是公差为1的等差数列．=+()=+()=n+a=(n∈N八、a=pa+qa型解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s