一道高考模拟选择题解法的研究与探索

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1、一道高考模拟选择题解法的研究与探索一、原题如下　　过定点P（2，1）的直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，则⊿OAB周长的最小值为（）　　A.8B.10C.12D.4　　二、解析　　解法一：过点P分别作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D。　　记∠PAC＝θ(0＜θ＜π／2)，　　ABO的周长为L.则(图1)　　　　图1图2　　L=

2、OA

3、

4、OB

5、

6、AB

7、,且

8、PC

9、=1，

10、PD

11、=2，

12、CA

13、=cotθ,

14、PA

15、=cscθ,　　

16、BD

17、=tanθ,

18、BP

19、=2secθ,于是L=3cotθcscθ2tanθ2secθ　　令

20、(0＜t＜1)，则sinθ=,cosθ=,tanθ=,cotθ=　　∴L=3=(0＜t＜1)∴(1-L)t2(L-4)t-1=0　　∵L＞3,∴≥0，即：(L-4)24（1-L）≥0，亦即：L2-12L20≥0∴L≥10或L≤2　　又L＞3，∴L≥10故⊿ABO的周长的最小值为10。　　解法二：设直线AB的方程为：，其中点A（a,0）,B（0,b）(a＞3,b＞2)　　∵点P（2，1）在直线AB上，∴………………①　　设⊿ABO的周长为L，则L=

21、OA

22、

23、OB

24、

25、AB

26、=ab,∴=L-a-b,两边平方得：　　L2-2La-2Lbab=0……

27、……②　　联立①②并消去b得（2-2L）a2(L22L)a-2L2=0(L＞3)　　∴≥0，即：⊿=(L22L)28L2(2-2L)=L2(L2-12L20)≥0　　∴L≥10或L≤2又L＞3，∴L≥10故⊿ABO的周长的最小值为10。　　三、探索与研究　　（Ⅰ）给定正数m,n.，任意a,b>0，满足.则有　　≥……………①　　下面证明此结论：令,,其中x,y>0　　不等式①化为≥　　即：≥　　亦即：≥　　而事实上我们有:　　　　≥0。故得证。当且仅当即时取等号.　　解法三：应用上面结论，当m=2,n=1时，≥=10　　故⊿ABO的周长的最

28、小值为10。　　（Ⅱ）给定一角O及其内部一点P，角顶点与点P的连线把角O分为α、β两个角，　　

29、OP

30、=d，过点P的直线与角的两边相交于点A、B。　　（1）求△OAB周长最小值并作出这条直线；　　（2）求△OAB面积最小值并作出这条直线（图2）。　　△OAB周长最小值的问题　　设圆Q于角O两边相切，并且与AB切于点P，CD是另外一条过点P的直线，作平行于CD圆Q的切线EF，那么就有　　

31、OA

32、

33、OB

34、

35、AB

36、=

37、OE

38、

39、OF

40、

41、EF

42、<

43、OC

44、

45、OD

46、

47、CD

48、，　　这就是要证明的结论。且周长的最小值是：　　　　△OAB面积最小值的问题　　应

49、该是当P为AB中点的时候取到，可以用反证法证明。　　作图的话，就以P为中心，∠AOB为　　某个顶角作一平行四边形即可(图3)。　　且面积的最小值是：　　下面分别证明：①△OAB周长的最小值是：　　　　图1图2　　②△OAB面积的最小值是：　　证明：①建立如4图所示坐标系，令OS=t则∠QOS=（αβ）／2，圆Q的半径　　R=t·tan∠QOS,P(dcosβ,dsinβ),Q(t,t·tan∠QOS).由QP=QS=R得　　，整理得，　　令　　则⑴变为：　　　　即：△OAB周长的最小值是：　　解法四：应用上面结论，当，⊿ABO的周长的最小值

50、为10。　　②如图，点P为AB的中点，延长OP至Q，使OP=PQ，则：　　　　由正弦定理得：　　即：△OAB面积的最小值是：