构建数学模型拓展想象空间一道高考试题多种解法探索与思索

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1、构建数学模型拓展想象空间一道高考试题多种解法探索与思索［摘要］学生要运用知识网络深挖各种信息，探索解题思路及方法。老师绝不要把学生圈在一个用标准答案和规矩筑成的圈子里，要留给学生一些想象的空间，让他们冲破心灵的束缚，放飞思绪，提高学生解决数学应用题的能力。［关键词］数学建模函数与方程想象空间转换反思【中图分类号】教育部《普通高中数学课程标准（试验）》和江苏省《普通高中课程标准教学要求（数学）》明确指出：高中数学教学和数学命题要重视数学基本能力和综合能力的考查，注重数学应用能力的考查，着力考查学生是否能够灵活运用所学

2、数学知识、思想方法构建数学模型，并加以解决。江苏省2012年高考数学第17题，就是一道源于课本、高于课本，构思巧妙，以学生熟悉的弹道曲线为生活背景的二次函数问题。这道试题区分度较大，难度系数为0.34。学生读懂本题难度不大，但要找到一个真正适合的方法解决它并不容易，需要有一定的数学综合能力。下面就以该题为例，进行一些剖析。【2012江苏高考数学第17题】如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点。已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关。

3、炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由。1、思路分析如何解答这道题目？我认为应该从以下两个方面来进行分析。首先是审题中学生要运用知识网络深挖各种信息，探索解题思路及方法。可将本题分四段来理解：第一段为交待坐标平面，并给出单位。第二段为给出函数模型。第三段为生活名词，要清楚它的数学意义。第四段是两个设问，对小题（1）可做如下分解：i）炮的射程；ii）射程的最大值。部分同学因不知如

4、此分解，仅做出i），这怎么能是最大射程呢？（不少考生网上质疑：第一问能算出具体数据吗？）。对小题（2）亦可分解如下：”飞行物”为一动点A，”飞行高度为3.2千米”即动点A的轨迹为直线y=3.2。”可以击中它”的同义语”抛物线与直线y=3.2有交点（a，3.2）”或”抛物线的最高点不在直线y=3.2下方”。（物体飞行路线与炮弹运行路线有交点等价于两者相遇，不现实但不影响本题求解）。其次，要寻找恰当的解题切入口。具体分析如下：小题（1）的切入口是”射程”。小题（2）的切入口是”炮弹可击中目标”，从它的两个同义语分角度领

5、会想象，可形成多种解法。2、解法探微2.1第（1）小题，依题意：”射程”为已知二次函数象与X轴交点的横坐标X（x〉o），可从四种不同角度理解想象，得到五种解法。2.1.1.理解一：射程是二次函数的零点。解法1:令y=o，得故，由k+1知xlO，当且仅当k=l时取等号所以炮的最大射程为10千米。解法2:同解法1得（k>0）,=,因=0时k=l且00，k〉l时