第9讲代数学的新生

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1、代数学的新生J.L.Lagrange1736-1813Hally和Newton的引领19岁，都灵的皇家炮兵学校的数学教授数论、代数方程论、微积分、微分方程、变分法把引力定律应用于行星运动“算术研究是最叫我伤脑筋的，而且恐怕是最少价值的。”(1775)Lagrange关于用代数方法解方程的工作《关于方程的代数解法的思考》(1770)分析解三次方程和四次方程的各种方法为什么这些方法能把方程解出来对于解更高次的方程能够提供什么线索Lagrange关于用代数方法解方程的工作对于三次方程：x3+nx+p=0(1)引入变换x=y－(n/3y)(2)得到辅助方程y6+py3－n3/27=

2、0(3)这个方程也叫简化方程，它是y3的二次方程。设r=y3,方程变为：r2+pr－n3/27=0(4)Lagrange关于用代数方法解方程的工作则r1,2=由y3－r=0，令ω=Lagrange关于用代数方法解方程的工作这样，原方程的解就是通过简化方程的解得到的。因为可以让我们全部解出来的正是简化方程，这个奥秘一定是隐藏在把简化方程的解用原先提出的方程的解表示出来这一联系之中。Lagrange关于用代数方法解方程的工作当x1,x2,x3按特定的顺序取出时，每一个y值都能写成形式：y=(x1+ωx2+ω2x3)/3(5)性质1：简化方程的次数是由原方程的根的置换的个数决定的。

3、因为x1,x2,x3顺序(置换)有3!种，所以有6个y值，因而y应满足一个六次方程。Lagrange关于用代数方法解方程的工作性质2：y所满足的方程一定是y3二次方程。另外，y所满足的六次方程的系数是原三次方程系数的有理函数。因为在6种置换中，三种来自于交换所有的xi，另三种来自于只交换两个而固定一个，但由于ω是单位立方根，所得到的y的6个值，就满足y1=ω2y2=ωy3;y4=ω2y5=ωy6，并且还有y13=y23=y33。即函数(x1+ωx2+ω2x3)3在的所有x1,x2,x3六种置换下只能取2个值。Lagrange关于用代数方法解方程的工作对于一般四次方程，考虑y=

4、x1x2+x3x4这一四个根的函数在四个根的所有24种置换下只取三个不同的值。因此，应当有y所满足的一个三次方程，而且这个方程的系数应该是原方程系数的有理函数。Lagrange称这些辅助方程的解为原方程根的“预解函数”，并试图将上述方法推广到五次和五次以上的方程。他继续寻找五次方程的预解函数并希望它是低于五次的方程的解，但没有成功，因而猜测高次方程一般不能根式求解。Lagrange工作的影响Larange的思想是必须考虑一个有理函数当它的变量发生置换时所取的值的个数，这个思想引导到置换或代数群的理论PaoloRuffini(1765-1822)，《方程的一般理论》(1799)

5、：证明了不存在一个预解函数，能满足一个次数低于5次的方程。《用一般的代数方法解方程的一些想法》，试图证明用代数方法解四次以上的一般方程是不可能的。N.H.Abel,1802-18291824年:《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》高于四次的一般方程用根式求解的不可能性可用根式求解的方程的根能以这样的形式给出，出现在根的表达式中的每个根式都可表成方程的根和某些单位根的有理函数。E.Galois,1811-1832出身富裕,父亲是法国雷因堡镇的镇长15岁进入一所有名的公立中学，并开始研究数学仔细研究了Lagrange，Gauss,Cauchy和Abel的著作想进多科工艺学校

6、，但两次尝试均遭落选进入预备学校，两次因为政治罪而被捕Galois的可解性理论E.Galois,1811-1832在校的第一年发表了四篇文章1829年，把解方程的两篇文章呈送科学院，文章被Cauchy遗失了1830年，另一篇文章送给Fourier《关于用根式解方程的可解性条件》(1831)被Poission认为难以理解而退回Galois的可解性理论E.Galois,1811-18321846年，Liouville在《数学杂志》上编辑出版了Galois的部分文章1866年，Serret，《高等代数教程》第三版叙述了Galois的思想1870年，CamilleJordan，《置换

7、和代数方程专论》第一次对Galois的思想全面清楚的介绍请求雅可比或高斯不是就这些定理的正确性而是关于它们的重要性公开发表他们的意见Galois的可解性理论一般n次方程：xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0其中的系数必须是独立的或完全任意的。考虑特殊方程，如x4+px2+q=0,其中两个系数是独立的。x1、x2、x3、x4是方程的四个根。Galois的可解性理论置换P1：置换P2：置换P3：则P1·P2=P3Galois的可解性理论四次方程x4+px2+q=0，其中p和q是独立的，令F是p、q的