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1、第十四讲§2.7环的同态复习有关内容:1,一个环是具有两个代数运算“+”与“”的非空集合，具有两个不同的元素0，1且满足(1)(/?，+，0)是一个Abel群；(2)(/?，.，1)是一个幺半群；(3)“•”对“+”具有分配律，即V以，ce/?,均有a{b+c)=ab++c)a=ba十be。2，设(/?，+,.，0，l)是一个环，/是加群(/?,+，0)的一个子群(实际上是正规子群).若Voe/?，beI均有abeI，baeI.那么/称为/?的一个理想.由一个元素生成的理想称为主理想.新课：一，同态基本定理1.定义2.3:设/?,/?是两个环，rp.R^R.若n满足y
2、a,beR，均有+Z?)=z7(a)+帅)，TJ(ab)="(a)/j(b)，/j(l)=I’，则称7是环/?到/?的一个同态.2.环的同态基本定理：设7是环K到的一个同态，&=)是同态核，则K是/?的一个理想并且存在唯一的一个商环到环/?的同态疔：R/K巧R使得rj=fjy，其中/是环7?到商环/?//C的自然同态.进一步，/是满同态，而^■是单同态.证明：①设a，/?e尺，则"⑷=0，;/(/?)=0=>7/(6/-b)="⑷-rj(b)=0-0=0二/C二(/C+,0)是(/?,+,0)的一个子加群，这里(/是环/?的零元.VrGK,我们有z;(ra)=7⑺7⑻
3、=7⑺0=0，同理//(“/•)=0’•于是ar.raeK.所以/C是/?的一个理想.②由群的同态基本定理知(具体见第一章第九节)，存在唯一的一个群同态歹:(/?/尺，+，扔4(/?
4、，+，0')使得77=办,具体地稱=”(離e%),Z是(/?，+，0)到(Z?//C+，5)的自然同态.进一步，Z是满同态，而V是单同态.所以V“，R/K9rj(a+6)=r/(a)+r/(b)；Va,Z?GR，y(a+b)=/(a)+y(b)o又因为rj(ab)=rj(ab)=J](ab)=7j(a)7j(b)=rj(a)7/0),"(i)=77(1)=1’，y(ab)-ab-ab-/
5、(“)/(/?)，/(I)=1;所以/J••R/K4R是商环R/K到环/?的一个同态，/是环到商环/?//C的一个同态。2.推论：若7是环尺到穴的满同态，则(0)三/?.二、同构定理1.定理2.6:若7是环K到尺的满同态，厂=，7_1(0)是核.①设r={H
6、H是(/?，+，0)的子群且r={//1//是(/?，+，o)的子群}，则「与「
7、之间存在对应关系，并且r中的//是/?的子环(理想)当且仅当7(H)是/?的子环(理想).②若/是/?中包含的理想，那么映射+⑻+，(其中/’二7(D)是商环/?//到的同构.(②称为环的第一同构定理).证明：①由于7是环R到允的满
8、同态，贝1J/7是群(及，+，0)到(/?，+，0)的满同态.由P65Thl.8知，映射是「与r之间的对应.如果H是/?的子环，则(仏+，0)是(7?，+，0)的子群，从而(7(//)，+，0z)是(尺，+，0)的子群且V<7，/?e"(H)，3a,beH使得7⑷=a’，"0)="•于是，ab=7j(a)rj(b)=rj(ab)erj(H),所以//(H)是/?的子环.反之，设「中的H’是/?的子环，则(//，+，(/)是(/?，+，(/)的子加群，所以z/_1(//>r是(/?,+，0)的子群且均有7⑻，//⑻eH.所以rj(ab、=/j(a、rj(b、eH’，于是
9、abe)。因此z/_1(H)是/?的子环。类似可证r中的H是/?的理想当且仅当7(H)是/?'的理想。②作映射p:tz+/
10、4Z7⑻+八(/■="(/))•贝!J(/?"，+，6)三(穴/广+,57)(由P65Thl.8).又因为识((“+/)(/?+/))=识(tz/?+/)="(“/?)+/=7j(a)/j(b)+1(p=("⑻+/’)("⑻+/)=识(以+/)0(，7+/).故/?//三/?’//’•1.环的第二同构定理：设/?是一个环，S是/?的子环，/是/?的理想.那么S+/=p+z•一S，fe/｝是尺的子环，；c5+7,且/是S+/的理想，川/是S的理想，
11、并且映射识:5，+/
12、〜，+(5门/)，5’€5是商环(5+/)//到5/(川/)的同构.证明：类似于并利用P65TM.9.三、特征1.定义：设/?是一个环，/?中最小的子环称为/?的素环。如果e是/?中的单位元，那么/?的素环是=weZ｝。事实上首先，不难验证，Ze是/?的一个子环.现设S是/?的任一个子环.那么0，e5"，于是-〜S。所以，Vzi^eZe9当z?〉0时，ne=e+e+...+eE.S,~V~/r个当n<0时，ne=(-«)(-e)gS>当n=0时，Oe=OGSo因此2.定理2.7:在同构意义下，环/?的素环要么是整数环Z要么是々的
