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1、第十四讲§2.7环的同态复习有关内容:1,一个环是具有两个代数运算“+”与“”的非空集合,具有两个不同的元素0,1且满足(1)(/?,+,0)是一个Abel群;(2)(/?,.,1)是一个幺半群;(3)“•”对“+”具有分配律,即V以,ce/?,均有a{b+c)=ab++c)a=ba十be。2,设(/?,+,.,0,l)是一个环,/是加群(/?,+,0)的一个子群(实际上是正规子群).若Voe/?,beI均有abeI,baeI.那么/称为/?的一个理想.由一个元素生成的理想称为主理想.新课:一,同态基本定理1.定义2.3:设/?,/?是两个环,rp.R^R.若n满足y
2、a,beR,均有+Z?)=z7(a)+帅),TJ(ab)="(a)/j(b),/j(l)=I’,则称7是环/?到/?的一个同态.2.环的同态基本定理:设7是环K到的一个同态,&=)是同态核,则K是/?的一个理想并且存在唯一的一个商环到环/?的同态疔:R/K巧R使得rj=fjy,其中/是环7?到商环/?//C的自然同态.进一步,/是满同态,而^■是单同态.证明:①设a,/?e尺,则"⑷=0,;/(/?)=0=>7/(6/-b)="⑷-rj(b)=0-0=0二/C二(/C+,0)是(/?,+,0)的一个子加群,这里(/是环/?的零元.VrGK,我们有z;(ra)=7⑺7⑻
3、=7⑺0=0,同理//(“/•)=0’•于是ar.raeK.所以/C是/?的一个理想.②由群的同态基本定理知(具体见第一章第九节),存在唯一的一个群同态歹:(/?/尺,+,扔4(/?
4、,+,0')使得77=办,具体地稱=”(離e%),Z是(/?,+,0)到(Z?//C+,5)的自然同态.进一步,Z是满同态,而V是单同态.所以V“,R/K9rj(a+6)=r/(a)+r/(b);Va,Z?GR,y(a+b)=/(a)+y(b)o又因为rj(ab)=rj(ab)=J](ab)=7j(a)7j(b)=rj(a)7/0),"(i)=77(1)=1’,y(ab)-ab-ab-/
5、(“)/(/?),/(I)=1;所以/J••R/K4R是商环R/K到环/?的一个同态,/是环到商环/?//C的一个同态。2.推论:若7是环尺到穴的满同态,则(0)三/?.二、同构定理1.定理2.6:若7是环K到尺的满同态,厂=,7_1(0)是核.①设r={H
6、H是(/?,+,0)的子群且r={//1//是(/?,+,o)的子群},则「与「
7、之间存在对应关系,并且r中的//是/?的子环(理想)当且仅当7(H)是/?的子环(理想).②若/是/?中包含的理想,那么映射+⑻+,(其中/’二7(D)是商环/?//到的同构.(②称为环的第一同构定理).证明:①由于7是环R到允的满
8、同态,贝1J/7是群(及,+,0)到(/?,+,0)的满同态.由P65Thl.8知,映射是「与r之间的对应.如果H是/?的子环,则(仏+,0)是(7?,+,0)的子群,从而(7(//),+,0z)是(尺,+,0)的子群且V<7,/?e"(H),3a,beH使得7⑷=a’,"0)="•于是,ab=7j(a)rj(b)=rj(ab)erj(H),所以//(H)是/?的子环.反之,设「中的H’是/?的子环,则(//,+,(/)是(/?,+,(/)的子加群,所以z/_1(//>r是(/?,+,0)的子群且均有7⑻,//⑻eH.所以rj(ab、=/j(a、rj(b、eH’,于是
9、abe)。因此z/_1(H)是/?的子环。类似可证r中的H是/?的理想当且仅当7(H)是/?'的理想。②作映射p:tz+/
10、4Z7⑻+八(/■="(/))•贝!J(/?",+,6)三(穴/广+,57)(由P65Thl.8).又因为识((“+/)(/?+/))=识(tz/?+/)="(“/?)+/=7j(a)/j(b)+1(p=("⑻+/’)("⑻+/)=识(以+/)0(,7+/).故/?//三/?’//’•1.环的第二同构定理:设/?是一个环,S是/?的子环,/是/?的理想.那么S+/=p+z•一S,fe/}是尺的子环,;c5+7,且/是S+/的理想,川/是S的理想,
11、并且映射识:5,+/
12、〜,+(5门/),5’€5是商环(5+/)//到5/(川/)的同构.证明:类似于并利用P65TM.9.三、特征1.定义:设/?是一个环,/?中最小的子环称为/?的素环。如果e是/?中的单位元,那么/?的素环是=weZ}。事实上首先,不难验证,Ze是/?的一个子环.现设S是/?的任一个子环.那么0,e5",于是-〜S。所以,Vzi^eZe9当z?〉0时,ne=e+e+...+eE.S,~V~/r个当n<0时,ne=(-«)(-e)gS>当n=0时,Oe=OGSo因此2.定理2.7:在同构意义下,环/?的素环要么是整数环Z要么是々的