第14讲 矩形

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1、第14讲矩形〖学习目标〗1.理解矩形的概念，探索并证明矩形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算．2.通过矩形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力．※考情分析矩形是一个特殊的平行四边形，其中矩形的边角性质、矩形的判定、直角三角形斜边上的中线和折叠问题都是中考试卷的热点．特别是两条对角线相交成60°角的矩形出现在中考试卷的频率特别高．矩形可能的题型有填空、选择或解答题，甚至在中考压轴题中，也常常会出现矩形的内容．〖基础知识·轻松学〗一、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．符号语言：

2、∵四边形ABCD为平行四边形，∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形．精讲：矩形定义的作用1.由矩形的定义可以看出，要保证一个矩形是平行四边形，我们可以先说明它是平行四边形，然后再说明有一个角等于90°即可．2.从这一定义可以看出，矩形是一个特殊的平行四边形，理解矩形的定义，我们可从矩形的共性和特性两个方面来理解．共性：矩形是一个特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质，如对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分等．特性：矩形的角等于90°．二、矩形的性质性质1：矩形的四个角都是直角．性质2：矩形的对角线相等．性质3：直角三角形斜边

3、上的中线等于斜边的一半．精讲：（1）矩形的对称性矩形作为一个特殊的平行四边形，它应该是一个中心对称图形，同时由于对角线将矩形分成四个等腰三角形，相对的两个等腰三角形全等，所以矩形又是轴对称图形，它有两条对称轴．（2）矩形的性质性质矩四个角四个角都是直角11形四条边对边平行对边相等对角线对角线相等且互相平分三、矩形的判定方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形可简记为：平行四边形＋一个角是直角＝矩形，方法2：对角线相等的平行四边形是矩形符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．方法3：有三个角是直角的四边形是矩形

4、．符号语言：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形．精讲：判定一个四边形为矩形，可从两个角度进行证明：一是证明它有三个角为直角；另一个是先证明它为平行四边形，再证它有一个角为直角或两条对角线相等．〖重难疑点·轻松破〗一、矩形的性质矩形的两条对角线将矩形分成的四个三角形都是等腰三角形，由于等腰三角形的底角相等，腰相等，在解题过程中常利用线段相等和角度相等来解决问题．1．利用矩形的四个等腰三角形进行角度的计算例1：如图14-1，矩形ABCD中，AE⊥BD，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAE，∠EAO的度数．图14-1分析：利用“∠D

5、AE∶∠BAE＝3∶1”“∠BAD＝90°”，可求得∠BAE，然后借助△AOB是等腰三角形，求得∠AOB的度数，进而利用∠AEO＝90°，求出∠EAO的度数．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO．又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°∵AE⊥BD，∴∠ABE＝90°－∠BAE＝67.5°，∴∠OAB＝∠ABO＝67.5°∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°点评：矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个

6、等腰三角形，因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决．变式练习1：11如果矩形的两条对角线所称的钝角是120°，那么对角线与矩形短边的长度之比为（）A．3∶2B．2∶1C．1.5∶1D．1∶12．利用矩形对边平行且相等，邻边垂直解决问题例2：如图14-2，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．图14-2AEDCBF图14-3分析：由于∠BAD＝90°，要证明AE平分∠BAD，只需设法求得∠BAE＝45°，可先证明△BEF≌△CDE，然后证明△ABE是等腰直角三角形

7、，即可证得∠BAE＝45°．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠BEF＋∠BFE＝90°．∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°，∴∠BFE＝∠CED．∵EF＝ED，∴△BEF≌△CDE，BE＝CD，∴AB＝BE，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAE＝45°，∴AE平分∠BAD．点评：本题证明△BEF≌△CDE的三个条件，除了EF＝ED已知之外，其它都是通过矩形的性质得到的，证明△ABE是等腰直角三角形，也用到矩形的对边相等来证明．变式练习2：如图14-3，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是

8、AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长.3．平移矩形的一条对角线，得到等腰三角形例3：如图14