27第27讲 矩形与菱形

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1、第27讲矩形与菱形本讲重点：矩形、菱形的概念、性质、判定及其应用.【考点链接】1．矩形、菱形的定义和从属关系2．矩形、菱形的性质边角对角线对称性矩形对边平行且四个角都是两条对角线互相平分且对称，中心对称菱形对边平行，四条边都对角两条对角线互相，每条对角线平分一组轴对称，对称3．矩形、菱形的判定矩形(1)有角是直角的四边形是矩形；(2)有一个角是的平行四边形是矩形；(3)两条对角线的平行四边形是矩形．菱形(1)四条都相等的四边形是菱形；(2)有一组邻边的平行四边形是菱形；(3)两条对角线互相垂直的是菱形．【典例探究】考点

2、1矩形的性质和判定的应用『例1』(1)（2012山东济南）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为()A．　　　B．　　　C．　　　D．(2)（2012湖北黄石）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为()A.B.C.D.(3)（2012山东济南）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，B

3、C=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是．『解析』(1)如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=AB=1.DE=，∴OD的最大值为：.故选A.(2)设AF=xcm，则DF=（8-x）cm，∵矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，∴DF=D′F，在Rt△AD′F中，∵AF2=AD′2＋

4、D′F2，即x2=62＋（8－x）2，解得：x=.故选B.(3)取AC的中点O，过点O作MN∥EF，PQ∥EH，∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥PQ∥FG，EF∥MN∥GH，∠E=∠H=90°.∴PQ⊥EF，PQ⊥GH，MN⊥EH，MN⊥FG.∵AB∥EF，BC∥FG，∴AB∥MN∥GH，BC∥PQ∥FG.∴AL=BL，BK=CK.∴OL=BC=×8=4，OK=AB=×6=3，∵矩形EFGH的各边分别与半圆相切，∴PL=AB=×6=3，KN=BC=×8=4.在Rt△ABC中，，∴OM=OQ=AC=5.∴EH=FG=PQ

5、=PL+OL+OQ=3+4+5=12，EF=GH=MN=OM+OK+NK=5+3+4=12，∴矩形EFGH的周长是：EF+FG+GH+EH=12+12+12+12=48.『备考兵法』矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；矩形的两条对角线把矩形分成四个全等的等腰三角形.因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.考点2菱形的性质和判定的应用『例2』(1)（2012山东聊城）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．(2)（2012江苏常州）如

6、图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF.求证：AE=AF.『解析』(1)首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论.证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD.∴四边形OCED是菱形.(2)由已知，根据AAS可证得△AEO≌△CFO，从而得AE=CF.根据一组对边平行且相

7、等的四边形是平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形.由EF⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形AECF是菱形.根据菱形四边相等的性质和AE=AF.证明：连接CE.∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，.又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO（AAS）.∴AE=CF.∴四边形AECF是平行四边形.又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形.∴AE=AF.『备考兵法』在求菱形的边长、角度、对角线长等问题时，通常是在某一个直角三角形中运用勾股定理及有关直角三角形的知识来解决．

8、考点3综合应用『例3』（2012海南省）如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN.（1）求证：△AND≌△CBM.（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ