第27讲 整取问题

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1、第27讲整取问题内容概述有时我们只关心某数的整数部分，于是我们就有了取整问题，如在抽屉原理里,在不定方程里等一些数论问题中．我们规定[]表示不超过的最大整数，{}=-[]，即为的小数或真分数部分．如[3.14]=3，{3.14}=0.14，显然有{x}<1．O≤{x}+{y}<2(、y均为整数时等号才成立)．典型问题2．求的和．【分析与解】我们知道如果直接求解是无法解出的，现在试着观察规律:最后一项为1981不难得到，再看+；=+=+所以有+=1981=+++=+++因为+的和为整数,所以+的和也为整数,但是我们知道0

2、≤{}+{y}<2；在此题中显然≠0，所以+=1于是+=1981-1=1980；这样，我们就找到了一般规律，我们知道原式除了最后一项，还有2005项，于是有1002组和=990；所以为1002×1980+990+1981=1986931．4．解方程[]{}+=2{}+10【分析与解】我们注意到不超过10，不能小于5；所以当[]=5，6，7，8，9，10的时候我们分别计算小数部分{}当[]=5时，有5{}+5+{}=2{}+10；则4{}=5，{}>1，不满足；当[]=6时，有6{}+6+{}=2{}+10；则5{}=4

3、，{}=；当[]=7时，有7{}+7+{}=2{}+10；则6{x}=3，{}=；当[]=8时，有8{}+8+{}=2{}+10；则7{}=2，{}=；当[]=9时，有9{}+9+{}=2{}+10；则8{}=1，{}=；当[]=10时，有10{}+10+{}=2{}+10；则9{}=0，{}=0．所以有=6，7，8，9，10．6．满足=546．求[100]的值?【分析与解】显然等式的左边有91-19+1=73项，每项值为[]或[+1]，这是因为：、、…、均小于l，又由于73×7<546<73×8，为使和数为546，则

4、[]=7，则设有个[+]值为7，于是，7×+8×(73-)=546,解得=38．所以有38项整数部分为7．即：+<8，即+<8．+≥8，即+≥8于是，100[+]<8×100．100+56<800，100<744；100+57≥800，100≥743．于是，[100]=743