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1、第三讲第一章么半群与群§1.1变换么半群和抽象么半群幺半群的定义1，定义1.设S是一个非空集合，P:SxS^S是一个映射，艮P:/a,beS,3ceS,使P、a，b、=c。称P为S上的一个二元运算。通常记为“•”，即：a.b…如果还满足/a,b,ceS，（ab）c=a-（bc），则称运算“”为可结合的。2,定义2.设s是一个非空集合，如果在s上定义了一个二元运算“•”，则称（s，.）为一个群胚。3,定义3.设（心）是一个群胚。如果是可结合的，则称为一个半群。4，定义4、设是一个半群。如果s中存在一个元1（
2、注：不一^定是整数1），使得Vtze=则称1为s的一个恒等元（单位元）。此时（s，.，l）称为一个么半群不难证明么半群中的恒等元是唯一的。事实上，如果1和r都是么半群s中的单位元，那么r=i.r=r。5，例1:（7V，.，i），（7V，+，o），（P（s），U，0），（/^），n,s）均为幺半群。设M（S）={aa:S^S},则（M（S），•人）为幺半群。二，子么半群第三讲第一章么半群与群§1.1变换么半群和抽象么半群幺半群的定义1，定义1.设S是一个非空集合，P:SxS^S是一个映射，艮P:/a,beS
3、,3ceS,使P、a，b、=c。称P为S上的一个二元运算。通常记为“•”，即：a.b…如果还满足/a,b,ceS，（ab）c=a-（bc），则称运算“”为可结合的。2,定义2.设s是一个非空集合，如果在s上定义了一个二元运算“•”，则称（s，.）为一个群胚。3,定义3.设（心）是一个群胚。如果是可结合的，则称为一个半群。4，定义4、设是一个半群。如果s中存在一个元1（注：不一^定是整数1），使得Vtze=则称1为s的一个恒等元（单位元）。此时（s，.，l）称为一个么半群不难证明么半群中的恒等元是唯一的。事实
4、上，如果1和r都是么半群s中的单位元，那么r=i.r=r。5，例1:（7V，.，i），（7V，+，o），（P（s），U，0），（/^），n,s）均为幺半群。设M（S）={aa:S^S},则（M（S），•人）为幺半群。二，子么半群1，定义5.设（S，.，l）是一个幺半群，MqSo如果leM并且Va,beM,abeM（注:今后用M表示“），则称为（S，.，l）的一个子么半群。2，例2，（tv，，i）是（z，，l）的一个子幺半群。另外，幺半群（M（5）,-,/s）的子么半群称为集合S的一个变换么半群。三，有限么半
5、群1，定义6,设（S，.，1）是一个幺半群，如果ISK+OO,则称s为有限么半群。其中m称为s的阶。2,对于有限么半群，它的运算可用一个表来表示。例如,设…，那么它的运算可用下表表示。•ClAa2鲁參鲁alaAaxa}a2a2a2a、a2a2a2an,參參•嚳•暑•番暑•••••>a…a,na2參•蜃m§1.2变换群和抽象群群的定义与子群1,定义1:设M是一个幺半群，託Mo如果3veM，使uv=l，则称w为右可逆的，v称为m的一个右逆元。类似地，可定义左可逆与左逆元。若V既是W的左逆元又是。的右逆元，则称W为
6、可逆的且称V为W的一个逆元。不难证明。的逆元是唯一的。事实上，如果V和/都是元素。的逆元，那么UV=VU=l，UV=VU=1O于是V’=v’l=v（uv）-=lv=VO记V=w1，贝［J有（u一=Uo2，定义2:设（G，.，1）是一个么半群。如果VmG,6,都有逆元，则称G为一个群。3，定义3:设(A/，，l)是一个么半群，/V是M的一个子幺半群。如果/V是一个群，则称/V为M的一个子群。4，例1，设(M，，l)是一个幺半群，iBf/(M)=｛MGA/
7、W可逆｝。那么t/(M)是M的一个子群。称t/(M)为M
8、的单位群或可逆元群。证明：(1)IeU(M),因为1是可逆的；(2)VwCW)，贝!均可逆，此时《存在，并且(¥2)(«)=1，(«)(¥2)=1,所以¥2ef/(M)，即"(M)是M的子幺半群；(3)/uGU(A/)9uu~l=u~lu=1知，u-'eU(M)，所以"(M)是M的子群。二，变换群1，设S是一个非空集合，M(S)是S的一个变换么半群(注：S的所有变换么半群都是M(S)的子么半群，(见例2))。那么f/(M(S))=｛aeM⑸
9、a是S的双射｝。称U(M(S))为集合S的对称群，记为SymS。特
10、别地，如果5=｛1,2,...，川，我们把S.胃s写成且称它为关于n个字母的对称群(简称n阶对称群)，通常称中的元素为｛1，2，...，〃｝的一个置换。5,,中的元素〃可表为6Z123…"不难证明定理1.1乂有n!个元素。即
11、5；
12、二/7!。2,设S是一个非空集合，S的对称群的子群称为S的变换群。当S为有限集时，称对称群的子群为置换群。对称群办mS的子集G是变换群当且仅当1=/seG,且三，直积1
