第8讲：现代数学基础 外测度.ppt

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1、第8讲外测度目的：懂得如何从长方体的体积概念导出外测度概念，了解外测度与体积概念的异同。重点与难点：外测度的定义，不可测集的存在性。正如引言中所说，要研究一般函数的积分，首先要建立一般集合的“长度”概念，这一工作可以追溯到19世纪人们关于容量的研究，其中具有代表性的人物是Peano（皮严诺）、Jordon（约当）以及Lebesgue的老师Borel（波雷尔）。然而，Lebesgue的工作替代了十九世纪的创造，特别是他改进了Borel的测度论。第8讲外测度第8讲外测度一．外测度的定义问题1：回忆平面内的面积

2、、3维空间中长方体的体积概念，如何定义n维空间中长方体的体积？问题2：有限个互不相交的长方体之并的体积是什么？问题3：回忆Riemann积分的定义及其几何意义，由此启发我们如何定义一般集合的“面积”或“体积”？第8讲外测度众所周知，在中，开矩形的面积为，在中，开长方体的体积为。很自然地，我们也称中的开集第8讲外测度为开长方体，并定义其体积为如果是一个一般的集合怎么办呢？熟悉Riemann积分的人可能比较自然地会想到，用一些长方体去分割它，然后以长方体的体积之和近似代替的体积。但值得注意的是，由于是一般的集

3、合，它可能不含任何开长方体，例如若是有理数第8讲外测度集，它不可能充满任何长方体。因此，我们不能象Riemann积分那样企图采用长方体内外来挤的办法来定义一般集合的“长度”。尽管如此，Riemann积分的思想还是给了我们极大的启示，它依然是我们的出发点，只不过具体做法稍不同。第8讲外测度定义1设是的点集，是中的一列开长方体，，则确定一个非负的数（或）。记称为的Lebesgue外测度。第8讲外测度二.外测度的性质问题4：回忆Riemann积分具有什么性质，由此猜测外测度应具有什么性质？第8讲外测度应该注意到

4、，由于没有假定是有界集，所以有可能是，就象的长度是一样。由于在中任意平移一个长方体并不改变其体积，所以外测度也具有平移不变性，此外外测度还有如下几个基本性质：第8讲外测度性质1。性质2若，则。性质3。第8讲外测度问题5：Riemann积分具有有限可加性，两个互不相交的集合之并的外测度是否为这两个集合的外测度之和？为什么？第8讲外测度性质1是显而易见的。如果注意到当时，凡是能盖住的开长方体序列一定也能盖住，则由外测度定义很容易得到。事实上，盖住的开长方体序列的全体比盖住的开长方体序列全体更多。为证性质3，可

5、采用如下办法，对任意，由外测度定义知，对每个，存在开长方体序列，满足第8讲外测度从而，且于是第8讲外测度由的任意性知。看起来似乎外测度概念推广了通常的体积概念，我们所期待的问题已经解决，但是，当我们完成了在某个原始概念基础上推广或建立一个新的概念后，首先必须回过头第8讲外测度来审查一下这一概念是否具有合理性，所谓合理性就应包括下面两个方面的问题：1、它是否的确为原始概念的自然推广？2、它是否继承了原始概念的基本特征？按上述方式定义的外测度是不是长方体体积概念的一种推广呢？这就要看看当是长方体时，其体积与外

6、测度是否相等。为方便计算，以为例来说明这件事，一般情形可类似证明。假设是矩形或是从某个矩形挖去有限个开矩形后剩第8讲外测度下的部分，是的闭包（显然与有通常的体积）。下面用归纳法证明，如果是任意有限个盖住的开矩形。则。如果是某个开矩形，它将盖住时，则显然有。假设是个开矩形将盖住时，有。第8讲外测度往证盖住的个开矩形也满足记，则仍是从矩形中挖去有限个开矩形后剩下的部分，且将盖住（事实上，不难证明：）。由归纳假设知第8讲外测度，于是所以对任意有限个盖住的开矩形，有。第8讲外测度下设是任一列开矩形将盖住，则由有限

7、覆盖定理知存在有限个，它们也将盖住，于是，进而。由的任意性知。由外测度的定义，不难看到。于是第8讲外测度即。故。特别地，当是长方体时，。至于相反的不等式则是显然的。综上得。这说明外测度确是“体积”（或“面积”、“长度”）概念的自然拓广。至此，集合的第8讲外测度“体积”问题似乎已得到解决，但事情远非如此简单。既然外测度是体积概念的自然推广，那么当时，应有。因为区间的长度或立体的体积都是具有可加性的。遣憾的是，外测度并非对所有的集合都具有可加性。事实上，如果对任意第8讲外测度两个不交的集合都有，则不难推知对任

8、意有限个互不相交的点集，也有进而对任意一列互不相交的点集，有第8讲外测度令便知相反的不等式由外测度的性质3立得，所以这就是说，只要外测度具有可加性，则它一定具有可数可加性。然而下面的例子说明，外测度并不具有这种性质。第8讲外测度例1对任意，令显然，故非空，而且对任意，如果，则。事实上，若，则对任意及，均为有理数，也为为理数，于是及第8讲外测度都为有理数，这说明，，由的任意性知（实际上是有理数）。这样，可以分解成一些互不相交的之