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时间:2020-01-17
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1、第8讲外测度目的:懂得如何从长方体的体积概念导出外测度概念,了解外测度与体积概念的异同。重点与难点:外测度的定义,不可测集的存在性。正如引言中所说,要研究一般函数的积分,首先要建立一般集合的“长度”概念,这一工作可以追溯到19世纪人们关于容量的研究,其中具有代表性的人物是Peano(皮严诺)、Jordon(约当)以及Lebesgue的老师Borel(波雷尔)。然而,Lebesgue的工作替代了十九世纪的创造,特别是他改进了Borel的测度论。第8讲外测度第8讲外测度一.外测度的定义问题1:回忆平面内的面积
2、、3维空间中长方体的体积概念,如何定义n维空间中长方体的体积?问题2:有限个互不相交的长方体之并的体积是什么?问题3:回忆Riemann积分的定义及其几何意义,由此启发我们如何定义一般集合的“面积”或“体积”?第8讲外测度众所周知,在中,开矩形的面积为,在中,开长方体的体积为。很自然地,我们也称中的开集第8讲外测度为开长方体,并定义其体积为如果是一个一般的集合怎么办呢?熟悉Riemann积分的人可能比较自然地会想到,用一些长方体去分割它,然后以长方体的体积之和近似代替的体积。但值得注意的是,由于是一般的集
3、合,它可能不含任何开长方体,例如若是有理数第8讲外测度集,它不可能充满任何长方体。因此,我们不能象Riemann积分那样企图采用长方体内外来挤的办法来定义一般集合的“长度”。尽管如此,Riemann积分的思想还是给了我们极大的启示,它依然是我们的出发点,只不过具体做法稍不同。第8讲外测度定义1设是的点集,是中的一列开长方体,,则确定一个非负的数(或)。记称为的Lebesgue外测度。第8讲外测度二.外测度的性质问题4:回忆Riemann积分具有什么性质,由此猜测外测度应具有什么性质?第8讲外测度应该注意到
4、,由于没有假定是有界集,所以有可能是,就象的长度是一样。由于在中任意平移一个长方体并不改变其体积,所以外测度也具有平移不变性,此外外测度还有如下几个基本性质:第8讲外测度性质1。性质2若,则。性质3。第8讲外测度问题5:Riemann积分具有有限可加性,两个互不相交的集合之并的外测度是否为这两个集合的外测度之和?为什么?第8讲外测度性质1是显而易见的。如果注意到当时,凡是能盖住的开长方体序列一定也能盖住,则由外测度定义很容易得到。事实上,盖住的开长方体序列的全体比盖住的开长方体序列全体更多。为证性质3,可
5、采用如下办法,对任意,由外测度定义知,对每个,存在开长方体序列,满足第8讲外测度从而,且于是第8讲外测度由的任意性知。看起来似乎外测度概念推广了通常的体积概念,我们所期待的问题已经解决,但是,当我们完成了在某个原始概念基础上推广或建立一个新的概念后,首先必须回过头第8讲外测度来审查一下这一概念是否具有合理性,所谓合理性就应包括下面两个方面的问题:1、它是否的确为原始概念的自然推广?2、它是否继承了原始概念的基本特征?按上述方式定义的外测度是不是长方体体积概念的一种推广呢?这就要看看当是长方体时,其体积与外
6、测度是否相等。为方便计算,以为例来说明这件事,一般情形可类似证明。假设是矩形或是从某个矩形挖去有限个开矩形后剩第8讲外测度下的部分,是的闭包(显然与有通常的体积)。下面用归纳法证明,如果是任意有限个盖住的开矩形。则。如果是某个开矩形,它将盖住时,则显然有。假设是个开矩形将盖住时,有。第8讲外测度往证盖住的个开矩形也满足记,则仍是从矩形中挖去有限个开矩形后剩下的部分,且将盖住(事实上,不难证明:)。由归纳假设知第8讲外测度,于是所以对任意有限个盖住的开矩形,有。第8讲外测度下设是任一列开矩形将盖住,则由有限
7、覆盖定理知存在有限个,它们也将盖住,于是,进而。由的任意性知。由外测度的定义,不难看到。于是第8讲外测度即。故。特别地,当是长方体时,。至于相反的不等式则是显然的。综上得。这说明外测度确是“体积”(或“面积”、“长度”)概念的自然拓广。至此,集合的第8讲外测度“体积”问题似乎已得到解决,但事情远非如此简单。既然外测度是体积概念的自然推广,那么当时,应有。因为区间的长度或立体的体积都是具有可加性的。遣憾的是,外测度并非对所有的集合都具有可加性。事实上,如果对任意第8讲外测度两个不交的集合都有,则不难推知对任
8、意有限个互不相交的点集,也有进而对任意一列互不相交的点集,有第8讲外测度令便知相反的不等式由外测度的性质3立得,所以这就是说,只要外测度具有可加性,则它一定具有可数可加性。然而下面的例子说明,外测度并不具有这种性质。第8讲外测度例1对任意,令显然,故非空,而且对任意,如果,则。事实上,若,则对任意及,均为有理数,也为为理数,于是及第8讲外测度都为有理数,这说明,,由的任意性知(实际上是有理数)。这样,可以分解成一些互不相交的之
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