现代应用数学基础第1章.ppt

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1、现代应用数学基础殷云星郭燕李忠艳制作电子课件蒋艳杰统稿第1章集合与映射殷云星制作第1章集合与映射例1.1.11）次数不超过n的实系数多项式的全体；1.1.1集合的概念2）上具有直到n阶连续导数的实函数全体：1.1集合集合的表示法：枚举法；描述法定义1.1.4（笛卡尔积或直积）：设为n个集合，称集合为集合的积集（笛卡尔积或直积）．定义1.1.3设A是一个集合，称由A的所有子集为元素构成的集合为A的幂集，记为(或)，即例如，实平面可以看作两条实直线R的积集：．记为其中称为元素在集合上的投影,.时，记当.1.1.2集合的运算并:交:差:推广到任意多个集合的情形集合的并

2、、交、差定理1.1.2（DeMorgen律）设为集合X的子集，则下面的对偶律成立：定理1.1.1集合的并与交满足下面的分配律：1.1.3集合序列的极限则集合序列为递增的，为递减的。递增的递减的单调的集合序列如：对于任意给定的一个集合序列，令定义1.1.6设是集合序列，称集合为集合序列的上极限(下极限).若则称集合序列收敛，并称集合记为为集合序列的极限，注：1．的充要条件是存在无限多个包含x；例1.1.2设求集合序列的上极限和下极限，并讨论是否收敛．2.的充要条件是存在正整数N，都有；3．．1.2映射定义1.2.1设X,Y是两个非空集合．若对于每个，按照某种确定的

3、对应法则f，都有唯一确定的与之对应，则称此对应法则f为集合X到Y的一个映射（特别称X到X的映射为变换），记为称y为x在映射f下的象，记为，称x为y的原象．称X为映射f的定义域；称Y的子集为映射f的值域．1.2.1映射的概念若，称集合为集合A的象集；称集合为集合B的原象集．称集合的子集为映射f的图像．注：映射可以看作普通函数概念的推广（当X，Y为两个数集时，映射就是普通的函数）．映射相等：如果它们都是集合X到集合Y的映射，并且，都有．定义1.2.2设映射．如：恒等映射（单位映射）1.若，有，则称f为单射；2.若，使，则称f为满射；3.若f既是单射又是满射，则称f为

4、双射（一对一映射）．此时，都存在唯一确定的，使，称这一映射为f的逆映射，记为．定义1.2.3设X是一个集合，，称X到数集的映射为集合A上的特征函数（特征映射）．1.2.2复合映射及性质定义1.2.4设．若，令则是的映射，称为映射f与g的复合映射.定义1.2.5设，若有.则称f为g到X上的延拓，称g为f在A上的限制，记作1.3二元关系定义1.3.1设X和Y为两个非空集合，称的每一个子集R为上的一个二元关系.若，则称x与y是R相关的，记为.若，则称x与y不是R相关的，记为.简称上的二元关系R为X上的二元关系.1.3.1二元关系的概念特别当X,Y为有限集时，也可用矩阵

5、表示二元关系（关系矩阵）：例1.3.1设C是所有复数的集合，P是所有代数方程组成的集合．构造的一个子集，则R就是上的一个二元关系．在数学上，把元素只取0或1的矩阵称为布尔(Boole)矩阵．关系矩阵是布尔矩阵．1.3.2等价关系定义1.3.2设R是X上的一个二元关系，满足1）自反性，有；2）对称性若，则；3）传递性若，则则称R是X上的一个等价关系；若，称x与y在R下等价.定义1.3.3设R是X上的一个等价关系，，记，称为x关于R的等价类．称关于R的等价类的全体为X关于R的商集.例1.3.2设Z是所有整数的集合，取定正整数，构造的一个子集,则R是Z上的一个等价关系

6、．这个等价关系通常叫做模n的同余关系．由模n的同余关系R确定了n个等价类，称为模n的剩余类，一般用表示.定理1.3.1集合X上的每一个等价关系都给出X的一个分划(把X分为一些互不相交的非空子集之并)．反之，X的每一个分划都给出X上的一个等价关系．即能被整除1.4集合的势定理1.4.1(Bernstein)设A和B是两个集合，若存在单射和单射，则存在双射.1.4.1势的概念定义1.4.1若两个集合A,B之间存在一个双射（一一对应），则称集合A与B等势（对等），或者说集合A与B有相同的基数（CardinalNumber），记为其中表示集合的A基数（或用表示）．如果存

7、在集合A到集合B的一个单射，则称集合A的势不大于集合B的势，记为．即若

8、A

9、≤

10、B

11、，且

12、B

13、≤

14、A

15、，则

16、A

17、=

18、B

19、.证明先证，1.4.2可数集与超穷数定理1.4.2设A是一个非空集合，则只需构造的一个单单射f．令，为单点集合，定义1.4.2用（读作阿列夫零）表示正整数集合N的势，即

20、N

21、．若集合A的势满足

22、N

23、，则称A为可数集（可列集），否则称为不可数集．则f为的一个单射，因此．反证法．若存在双射，再证构造A的子集由于g是双射，所以，使．不论还是，都与B的定义矛盾．注意.即为A的一个子集，因此不存在的双射．1.5序结构定义1.5.1设X是一非空集合，“”为

24、X上的一个二元关系，若满