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1、《现代应用数学基础》复习2013-11-121.(Lebesgue控制收敛定理)设(1)是可测集上的可测函数列;(2)a.e.于,且在上Lebesgue可积;(3)依测度收敛于.则在上Lebesgue可积且.证明:分两步进行讨论.第一步.先设.利用Lebesgue积分的绝对连续性,对任意,存在,使得且时,由依测度收敛于知,存在,当时,于是,当时,因此,++.故等式成立.第二步.设.14采取用测度有限的集合列逼近的方法.选择集合列满足条件且由此推出另一方面,从上可知,存在,当时,因此,++证毕2.（1）求证：是度量空
2、间的有界集当且仅当，有，其中为某定点．特别地，是赋范空间的有界集当且仅当，． （2）若是度量空间中的收敛点列，则是有界集． 证明 （1）设是有界集，.则．取.则，，有．反之，设，，．于是，，，即是有界集．特别地，当是赋范空间时，取，有，因此14是有界集当且仅当，，．（2）设，则．即是收敛于的数列．所以，，．由（1）已证，此式表明是度量空间中的有界点列．3.（压缩映射原理）设是完备的度量空间，是上的压缩映射，即，存在，使.则存在唯一的不动点，即证明任取由此点出发逐次迭代，，得到点列，其中.先证是列.事实上，由于是
3、压缩的，存在有.对任意有.由于所以是列.次证不动点存在性.因为完备，故使.又因为是压缩映射，从而必是连续映射，对令得到.再证不动点的唯一性.若又有使则即由于，因此即144.设计一种迭代格式，利用压缩映射原理求方程在的根.解令，因为故是严格增加的.又因为所以方程在内有且仅有一个根.取初值，将方程写成用进行迭代，则得到近似解不收敛.这是因为在不是压缩映射.现改进迭代公式，引入参数，令.,由微分中值定理得，使因,故取,有，从而，这表明是上的压缩映射，压缩常.作为一维欧氏空间的闭度量子空间是完备的，由压缩映射原理，有唯一不
4、动点，就是方程的唯一的根.迭代公式即取，得，，，，，，，.取近似解则，.于是，误差5.（常微分方程解的存在唯一性）考虑初值问题14（A）其中在平面上连续，且关于变量满足条件：，为常数.则初值问题（A）在上存在唯一解，其中.证明首先指出，初值问题（A）有解与积分方程（B）有连续解是等价的.事实上，设（A）有解则它满足常微分方程与初始条件对上式两端积分可得，这表明是（B）的解，且由的可微性知是连续的.反之，若是（B）的连续解，则在式（B）中令得由于连续，故变上限积分函数可微，对式（B）两边求导得，这表明是方程（A）的解
5、.现利用方程（B），在连续函数空间上定义映射为（C）由的连续性可知且14因故是空间上的压缩映射.由压缩映射原理，存在唯一的使按式（C），就表示是方程（B）的唯一的连续解.从而方程（A）存在唯一的解.6.(线性代数方程组解的存在唯一性)设有线性方程组其中为矩阵，为矩阵（列向量）.若满足.(即是所谓的对角占优阵)，则存在唯一解.证明由于，记，则原方程组与同解.记为单位矩阵，其中则方程组与下述方程组同解：.（A）对任意列向量，取范数则是有限维赋范空间从而是空间.由式（A），令为（B）因为有14其中，故是压缩映射.由压缩映
6、射原理，存在唯一不动点，由，是方程（A）的唯一解，从而是方程组的唯一解.7.（积分方程的定理）设是定义在矩形上的可测函数，且是平方可积的，即.则积分方程（A）当时有唯一解证明作上的映射为.（B）由不等式（）得，故从而由是线性空间及可知，是到的映射.已知是空间，由不等式（）得，14即.因为故为压缩映射.由压缩映射原理得，存在唯一不动点由及式（B）可知，是积分方程（A）的唯一解.8．设,是赋范空间，是线性算子，则下列诸条件等价：（1）是有界算子；（2），有；.（3）在某一点连续；（4）在上连续．.证明（1）（2）设有界
7、，即将的任一有界集映射为的有界集．则将映射成有界集．即有.从而，,若,则,显然有;若,则,由于故.（2）（3）设由条件（2）得，.于是由得，.这表明在连续．（3）（4）设在某点连续，即当有.设是任一点且.令.则，从而应有.由于是线性的，故.因此，，即.的任意性表明在上连续．（4）（1）（反证法）若不是有界算子，则将的某有界集映射成的无界集．不妨设有界而无界．于是，；且（正整数），14，有.令，则，.由于连续，因而.这与相矛盾.所以有界．9．设积分算子定义为，其中．(1)是从到的算子.(2)是从到自身的算子.分别求出
8、.解 (1),有,得到.令,则,且,于是得到.所以.(2)，有图ba，得到．（正整数），令14（如图所示）.则,,．由的任意性得,.所以.10． 设，为赋范空间，是线性算子．(1)为闭算子的充要条件是：任一点列，若，，则．(2)有界线性算子是闭算子．证明 (1)必要性 设是闭算子且设，，．则，且，即．由于是中闭集，故，从而有．充分性 设，．则．所以，．于是由
