资源描述：
《代数学(第13讲)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、第十三讲§2.5理想、商环复习有关内容：1，一个环是具有两个代数运算“+”与的非空集合，具有两个不同的元素0，1且满足（1）（/?，+，0）是一个Abel群；（2）是一个幺半群;（3）“•”对“+”具有分配律，即/?，均有6Z（/?+c）=ab+ac人b+c、a=ba+be2，一个环称为一个除环，如果（；?*，•，1）是幺半群（/?，•，1）的一个子群，这里=，即就是说/?是一个除环当且仅当V（7GR3be/?，使得==1.乘法可交换的除环称为域.新课：一，理想与商环1.定义2.2:设（/?，
2、+，.，0，1）是一个环.设/是加群（7?，+，0）的一个子群（实际上是正规子群）.若V^ze/?，beI均有abeI,baeI.那么/称为/?的一个理想.例：在整数环（2，+，.,0，1）中，=是Z的一个理想，这里/?是正整数。注意，当〃>1时，nZ不是Z的子环。设/是/?的一个理想，则（/，+，0）是（/?，+，（））的一个正规子群，所以（/?//，+，U）是一个商群，这里+/?｝，并且/?//，a^rb=a+b.另外，我们还定义a.b=a.b.下证这个定义是合理的.设a=avb=b{9男P
3、么u+q+/，/?+/=/?,4-/=>6z-^,g/,/?-/?,eI=^>ab-a'b'=(ab-a々)+(a'b—a'b')=(a-a})b+I，aa'+1=bt+1，BPaax=bb{9艮P定义=是合理的.进一‘步，Va,b,ceR!I，我们有{ab^c=abc=(ab)c=a{bc)=a{bc^=a{bc^96/+cj=tz(/?+cj=a(b+c)=ab+ac=ab-^-ac=ab--ac，类似可证{b+c^a=~ba+ca.同时，a-1=a1=a91.7=l.tz=7o所以(％
4、，+，•0,lj是一个环.称％为7?相对于理想/的商环.2.设=是环(/?，+，•，0，1)的一个关系，若=既是加群(/?，+，0)的同余关系，又是么半群的同余关系，则称。为环的一个同余关系.即就是说，=为环/?的一个同余关系意指。为环/?的一个等价关系并且，b，b6R，由ci三ci，b三b亡＞ci-^-b=a+b,ab三cib。设表示6/所在的同余类，={a
5、aeR}.在5中定义ci+b=ci+b,ci-b=ci-by那么（J?，+，0）是"个Abel群，（/?，.，1）是"个幺半群，并且，我
6、们还可证++=ab--ac,[b+c^a=ba--ca,因此灰+，.5，i）是一个环，称々为/?的商环.3.设e是环（/?，+，.，0，1）上的同余关系，那么零元0所在的同余类5=/是/?的一个理想.并且可证（％，+，•0,l）a（^/,+,.6J）反之，如果/是环/?的一个理想，在/?中定义关系e如下：R,a=ba-be19那么可证三是环/?的一个同余关系，并二、理想的代数1.子集生成的理想设/?是环，0^Sc/?,设(S)是/?中包含S的最小理想(即①(S)是的理想，②h(S)，③若T是
7、/?中任一个包含S的理想，则(s)cr),称(s)为由s生成的理想.如果s=h，《2，…，&卜就记(5)=(tz,，％，•••，〜).若5=，则称⑷为由6T生成的主理想.例：在整数环(z，+，、o，l)中，由整数《生成的主理想⑻=
8、«
9、Z。事实上，首先，
10、«
11、Z是Z的一个理想；其次，｛a｝QaZi第三，若r是z中任一个理想且｛〃｝^r(即〃er),那么，对于任意kz，均有abgT，从而(-6Z)/?=-Mer，于是，总有这样
12、tz
13、Z即⑷=
14、a
15、Zo特别地，如果00,那么⑷=aZ。2.理想的
16、运算设是环的理想，我们定义/+•/为由集合/U•/生成的理想，即/+J=(/UJ).再定义/J为由集合生成的理想,即A/=({abaeI,be/})o则有：(1)，I-i-J={a-^-baEI,be7};(2)，IJ=IaiGG/=1，2,…,m,meA^+j.证明：(1)设/C={c/+/?
17、«e/，kJ},显然有I={a+Qae1}^{a^baEI,beJ}=K9J={O+bbEj}^{a-^-baE/,/?gJ}=K9@jIb/U7c/C.又=a+/?l，y=“2+/?2e尺
18、，其中q，《2e八/^為e
19、6ze/，/?e是由/UJ生成的理想，于是I-^-J=K={a+baef，
