第六讲 代数学的新生.ppt

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1、序言代数方程的可解性与群的发现从四元数到超复数布尔代数代数数论代数学的新生（十九世纪数学之一）序言(一)、18世纪的数学悲观主义从17世纪初开始，数学经历了近两个世纪的开拓，在18世纪行将结束的时候，数学家们对自己从事的这门科学却奇怪地存在着一种普遍的悲观情绪。拉格朗日于1781年在写给达朗贝尔的信中说：“在我看来似乎（数学的）矿井已经挖掘很深了，除非发现新的矿脉，否则迟早势必放弃它，……科学院中几何学（指数学）的处境将会有一天变成目前大学里阿拉伯语的处境一样，那也不是不可能的。”欧拉和达朗贝尔都同意拉格朗日的观点。法国法兰西学院一份《关于1789年以来数学科学进展的历史及

2、其现状的报告》更是预测在数学的“几乎所有的分支里，人们都被不可克服的困难阻挡住了；把细枝末节完善化看来是剩下来惟一可做的事情了，所有这些困难好象是宣告我们的分析的力量实际上是已经穷竭了”。这种世纪末悲观主义的由来，可能是因为17、18世纪数学与天文力学的紧密结合，使部分数学家把天文与力学看成是数学发展的几乎惟一源泉，而一旦这种结合变得相对滞缓和暂时进入低谷，就会使人感到迷失方向。18世纪末出现的数学悲观主义具有深刻的认识论背景。(二)、数学发展的动力从根本上说，数学的发展与人类的生产实践和社会需求密切相关，对自然的探索是数学研究最丰富的源泉。但是，数学的发展对于现实世界又表

3、现出相对的独立性。一种数学理论一经建立，便可基于逻辑思维向前推进，并由此导致新理论与新思想的产生。因此，内在的逻辑需要也是数学进步的重要动力之一。过于看重数学进展对现实需要的依赖，而忽视数学发展的内在动力，难免产生对数学发展前景的悲观预见.生产实践的需要数学发展的动力数学内部的矛盾数学家的求知欲(三)、18世纪末数学悲观内部遗留的问题实际上，就在18世纪后半叶，数学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿新的变革。当时的数学家们面临着一系列数学自身产生的、长期悬而未决的问题，其中最突出的是：（1）高于四次的代数方程的根式求解问题；（2）欧几里得几何中平行公理的证明问题；（3）牛顿、莱

4、布尼兹微积分算法的逻辑基础问题。在19世纪初，这些问题已变得越发尖锐而不可回避。§8.1代数方程的可解性与群的发现发现者：阿贝尔伽罗瓦发展者：凯莱若尔当F.克莱因李中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问。直到19世纪初，代数研究仍未超出这个范围。不过这时数学家们的注意力集中在了五次和高于五次的代数方程上。二次方程的解法古巴比伦人就已掌握。中世纪，阿拉伯数学家将二次方程的理论系统化。三、四次方程的求解在文艺复兴时期获得解决。接下来，让人关心的自然是一般的五次或更高次的方程求解。在解出三、四次方程后的整整两个半世纪内，很少有人怀疑五次代数方程根式解法的存在性。但是寻

5、求这种解法的努力却都以失败而告终。NielsHenrikAbel(1802～1829）挪威数学家。1802年8月5日生于芬岛一个牧师家庭,1829年4月6日卒于弗鲁兰。13岁入奥斯陆一所教会学校学习,年轻的数学教师B.M.霍尔姆博发现了阿贝尔的数学天才,对他给予指导。少年时,阿贝尔就已经开始考虑一些数学问题。1821年在一些教授资助下,入奥斯陆大学。在学校里,他几乎全是自学,同时花大量时间作研究。1824年,他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。为了能有更多的读者,他的论文以法文写成,也送给了C.F.高斯,可是在外国数学家中没有任何反响。8.1.1阿贝尔1825年,他去

6、拍林,结识了A.L.克雷尔,并成为好友。他鼓励克雷尔创办了著名的数学刊物《纯粹与应用数学杂志》。第1卷（1826）刊登了7篇阿贝尔的文章,其中有一般五次方程用根式不能求解的证明。以后各卷也有很多他的文章。1826年阿贝尔到巴黎,遇见了A.M.勒让德和A.L.柯西等著名数学家。他写了一篇关于椭圆积分的论文,提交给法国科学院,不幸未得到重视,他只好又回到拍林。克雷尔为他谋求教授职位,没有成功。1827年阿贝尔贫病交迫地回到了挪威,靠作家庭教师维生。直到阿贝尔去世前不久,人们才认识到他的价值。8.1.1阿贝尔1828年,四名法国科学院院士上书给挪威国王,请他为阿贝尔提供合适的科学

7、研究位置,勒让德也在科学院会议上对阿贝尔大加称赞。次年4月6日,不到27岁的阿贝尔就病逝。柏林大学邀请他担任教师的信件在他去世后的第二天才送出。此后荣誉和褒奖接踵而来,1830年他和C.G.J.雅可比共同获得法国科学院大奖。阿贝尔在数学方面的成就是多方面的。除了五次方程之外,他还研究了更广的一类代数方程,后人发现这是具有交换的伽罗瓦群的方程。为了纪念他,后人称交换群为阿贝尔群。阿贝尔还研究过无穷级数,得到了一些判别准则以及关于幂级数求和的定理。这些工作使他成为分析学严格化的推动者。8.1.1阿贝尔阿贝尔和雅可比是公