《代数学的新生》PPT课件

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1、数学史11、代数学的解放在18世纪后半叶，数学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿新的变革．当时数学家们面临一系列数学发展进程中自身提出的、长期悬而未决的问题，其中最突出的是：1．高于四次的代数方程的根式求解问题；2．欧几里得几何中平行公理的证明问题；3．牛顿、莱布尼茨微积分算法的逻辑基础问题.在19世纪初，这些问题已变得越发尖锐而不可回避．它们引起数学家们集中的关注和热烈的探讨，并导致了数学发展的新突破．数学在19世纪跨入了一个前所未有、突飞猛进的历史时期．本章要介绍的是代数学中的革命性变化。11.1代数方程的可解性与群的发现11.1.1问题的提出中世纪的阿拉伯

2、数学家把代数学看成是解代数方程的学问．直到19世纪初，代数学研究仍未超出这个范围．不过这时数学家们的注意力集中在了五次和高于五次的代数方程上．数学家自然要考虑一般的五次或更高次的方程能否像二、三、四次方程一样来求解，也就是说对于形如(其中)的代数方程，它的解能否通过只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算的公式得到呢?在解出三、四次方程后的整整两个半世纪内，很少有人怀疑五次或五次以上方程根式求解的可能性．但是所有寻求这种解法的努力都失败了．历史上，第一个明确宣布“不可能用根式解四次以上方程”的数学家是拉格朗日．拉格朗日在1770年发表的《关于代数

3、方程解的思考》一文，讨论了在他之前人们所熟知的解二、三、四次方程的一切解法，并且指出这些成功解法所根据的情况对于五次及更高次方程是不可能发生的．拉格朗日试图得出这种不可能性的证明，然而经过顽强的努力(他的论文长达200页)之后，拉格朗日不得不坦言这个问题“好象是在向人类的智慧挑战”．迎接这一挑战的是在拉格朗日的文章发表过后半个多世纪，来自挪威的一位年青人．1824年，年仅22岁的数学家阿贝尔自费出版了一本小册子《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》，在其中严格证明了以下事实：如果方程的次数，并且系数看成是字母，那么任何一个由这些字母组成的根式都不可能是方

4、程的根．他还考虑了一些特殊的能用根式求解的方程，其中的一类现在被称为“阿贝尔方程”．在这一工作中，他实际上引进了“域”(field)这一重要的近世代数概念．11.1.2阿贝尔与一般五次方程的不可解性阿贝尔出生在挪威奥斯陆附近的芬岛，父亲S．G．阿贝尔(Abel)是个牧师．幼时，他就显露出数学上的才能．但是家庭的极端贫困，使他未能受到系统的教育．1815年，年仅13岁的阿贝尔进入奥斯陆的一所教会学校学习．起初，学校里缺乏生机的教育方法没有引起他对数学的兴趣．15岁(1817)时，他幸运地遇到一位优秀数学教师洪堡(Holmboё)．后者在数学上的最大贡献也正是发

5、现并培养了这位数学天才．良师耐心细致的教诲，唤起了他学习数学的愿望，使他对数学产生了兴趣．阿贝尔迅速学完了初等数学课程．然后，他在洪堡的指导下攻读高等数学，同时还自学了许多数学大师特别是欧拉(Euler)、拉格朗日(Lagran-ge)和高斯(Gauss)的著作．阿贝尔在中学最后两年时间里，如何求解五次方程问题吸引着他．在研读拉格朗日、高斯关于方程论著作的基础上，按高斯对二项方程的处理方法，着手探讨了高次方程的可解性问题．最初，他自认为解五次方程已获成功．洪堡与奥斯陆大学教授汉森丁(Hansteen)两人都看不出所以然，又找不出论证中的破绽．后来，只好把这篇

6、文章寄给丹麦数学家德根(Degen)，请求他帮助在丹麦科学院出版．德根教授也没有发现论证本身的任何错误，只是要求阿贝尔用例子说明他的方法，并建议他把精力放到椭圆积分的研究上去．阿贝尔获悉德根的答复后，立即着手构造五次方程解的例子．但结果失望地发现，他的方法是错误的．另外，他还接受了德根关于搞椭圆积分的建议，不多几年内就基本完成了他关于椭圆函数的理论．1821年秋，阿贝尔在一些教授资助下进入了奥斯陆大学．大学期间他把主要精力用在进一步研究上，他写出了许多有价值的论文．1823年，他完成了一篇题为“用定积分解某些问题”中首次给出了积分方程的解，这是历史上出现最早

7、的积分方程，但长时期没有引起人们的重视．1824年，他证明了五次或五次以上的代数方程没有一般的用根式求解的公式．该证明写进了“论代数方程——证明一般五次方程的不可解性”的著名论文中，从而结束了一般代数方程求根式通解的企图．他深知其结果的重要性，决定先以小册子形式自费出版它．为了节省经费，他把小册子压缩到6页，叙述很简洁，以致许多学者难以读懂．“数学王子”高斯也不相信一个青年能用这么短的篇幅，解决连他本人都尚未解决的难题．总之，这篇论文在当时没有得到任何一位外国数学家的重视．1825年，阿贝尔大学毕业．他到了德国柏林．结识了一位很有影响的工程师克雷尔(Crel

8、le)．克雷尔虽不是数学家，但对数学有浓厚的兴趣．克