《代数学基础有限域》PPT课件

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1、有限域的结构有限域的子域：定理:Fq’是Fq的子域,其中q’=pm,q=pn,那么m

2、n.证明:pm-1

3、pn-1⇒m

4、n.实际上（pm-1，pn-1）=p(m,n)-1一般的设a,b为整数，a>b，a,b互素，证明：(am-bm,an-bn)=a(m,n)-b(m,n)有限域的唯一性有限域的存在性和唯一性：有限域的阶定理:任意有限域的阶都是pn,其中p为素数.证明:假设Fq是有限域,特征为p.则Fp={0,1,2·1,…,(p-1)·1}为其子域.Fq可以看作域Fp上的向量空间.假设向量空间的维数为n,那么q=pn.向量空间有限域的唯一性定理:阶相等的有限域同构.证明思路:找一个不可约g

5、(x)使得任意的Fq≌Fp[x]gFpFq1)q=pm2)F*q为循环群FpFpFp[x]/g(x)本原元为αg(x)为α的极小多项式≌≌引理1:假设Fq是有限域,q=pm,其本原元α的极小多项式是g(x),那么Fq与Fp[x]/g(x)同构.证明:同构映射:r(α)→r(x)modg(x)引理2:g(x)是Fp[x]上的不可约多项式,deg(g)=m,那么g(x)

6、x^{pm}-x.证明:Fp[x]/g(x)是一个pm阶有限域,β=x是这个域的元素,g(x)是β的极小多项式.又β^{pm-1}-1=0,β是x^{pm-1}-1的根.因此g(x)

7、x^{pm}-x.因此任意阶为pm的有限域

8、都有极小多项式g(x).有限域的存在性考虑x^{pm}–x在Fp[x]上的分解有限域Fq(q=pm)的全部元素,构成x^{pm}–x=0全部的根.不可约多项式g(x)

9、x^{pm}–x⇔deg(g)

10、m.记Fp[x]上n次首1的不可约个数为N(n),那么∑n

11、mnN(n)=pmFp[x]上存在任意多次的不可约多项式证明:∑n

12、mnN(n)=pm⇒nN(n)≤pn.mN(m)=pm-∑n

13、m,n≠mnN(n)≥pm-∑n

14、m,n≠mpn=pm/2(pm/2-m/2)≥pm-m/2pm/2>0