代数学基础环和域课件.ppt

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1、环和域环的定义环(Ring):一个非空集合S上有两种运算：加法“+”和乘法“∘”，如果这两种运算满足以下性质，就称为环：(R,+)是一个交换群，加法单位元记为0（称为零元）；R关于乘法“∘”满足结合律:(a∘b)∘c=a∘(b∘c),并有单位元,记为1；分配律成立:(a+b)∘c=a∘c+b∘c,c∘(a+b)=c∘a+c∘b.注：0是抽象的写法，不同于整数中的0.“+”和“∘”是抽象的运算环的例子（1）在通常的加法和乘法运算下，Z,Q,R和C都是环，加法单位元为0，乘法单位元为1。环的例子（2）对任意n>0，在模n加法和模n乘法下，Zn是一个环。加法单位元为0，乘法单位元为1。环的例子(3

2、)多项式环Z[x]环中的零元对于环中的任意元素a,都有0a=a0=0一般地，0与1不相等，否则1a=a,而0a=0，这表明环中只有一个元素，平凡情形，一般不考虑所以0关于乘法没有可逆元环的几个性质设R是一个环,∀a,b∈R,有:a(-b)=(-a)b=-(ab)(-a)(-b)=ab交换环类似于交换群的定义，如果一个环关于乘法运算具有可交换性，就称它为交换环。无零因子环设R是一个环,如果存在a,b∈R,a≠0,b≠0,但ab=0,那么称R是有零因子环,否则称R是无零因子环.ab=0⇒a=0或b=0.无零因子环的性质性质1.设R是无零因子环,那么若a≠0,ab=ac,则b=c;若a≠0,ba=

3、ca,则b=c.性质2.设R是无零因子环,那么R中非零元的加法阶相等,或者为∞,或者为素数.子环、理想和商环子环(subring)设R是一个环,S是R的非空子集,如果S关于R的运算也构成环,则称S是R的子环.理想(Ideal)设R是一个环,I是R的一个子环,如果∀a∈I,r∈R,有ra∈R,ar∈R,则称I是R的一个理想.理想的例子F[x]为数域F上的一元多项式环,I={a1x+a2x2+…+anxn

4、ai∈F,n∈N},即I是由所有常数项为0的多项式构成的集合,则I是F[x]的理想.主理想由R中一个元素a生成的理想称为主理想.商环设I是环R的理想,在加法商群R/I上定义如下乘法(x+I)(

5、y+I)=(x+y)+I则R/I关于加法和乘法构成一个环.环同态设R和R’是两个环,f是R到R’的一个映射,如果∀a,b∈R,均有f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b),那么称f是R到R’的环同态映射.如果f是满射,那么称R和R’同态;如果f是双射,那么称R和R’同构.类似的有环同态基本定理概念的类比群环正规子群理想循环群主理想商群商环域的定义域(Field)如果一个交换环中的非零元素关于乘法运算形成一个群，就称它为域。域的例子（1）在通常的加法和乘法运算下，Q,R和C都是域。域的例子（2）令p是一个素数，在模p加法和模p乘法运算下，Zp是一个域.也记为Fp或者GF(

6、p).注意：整数环Z不是域；当n是合数时，Zn不是域。有限群、子群、商群和群的阶的概念可以直接推广到环和域中。域的特征F是域，其特征char(F)定义为单位元1的加法阶,即使得的最小自然数n，如果不存在这样的自然数，那么记char(F)=∞.性质：如果char(F)有限，那么一定是素数.域的例子（3）构造方法域上的多项式环不可约多项式利用不可约多项式构造有限域ZZpF[x]F[x]/f(x)Fp=Zpp为素数F为p阶有限域f为n次不可约多项式F[x]/f(x)为pn阶有限域域上的多项式的带余除法设F是一个域，f,g是F[x]中的两个多项式，且g不为0，类似于整数的除法：f=gq+r，其中，q

7、,r是F[x]中的两个多项式，且deg(r)

8、实数域上不可约；（3）在F3上不可约.利用不可约多项式构造域定义:F[x]是域F上的多项式环,f,g,r∈F[x],g≠0,满足f=gq+r,deg(r)