《数环和数域》PPT课件

《《数环和数域》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1.5数环和数域教学目的1、了解数学问题的讨论与数的范围有关；2、掌握数环和数域的概念及其判断方法；3、掌握有理数是最小数域及其证明方法。研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的范围，学习数学也是如此。比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。例如在有理数范围内不能分解，在实数范围内就可以分解。在实数范围内没有根，在复数范围内就有根。等等。我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做这样的限制。在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减乘除运算（

2、即代数运算）是否还在这个集合之中，即运算是否封闭。代数运算：设A是一个非空集合，定义在A上的一个代数运算是指存在一个法则，它使A中任意两个元素都有A中一个元素与之对应。运算封闭：如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在这个集合中，则称该集合对这个运算封闭。一、代数运算及运算封闭性例如两个整数的和、差、积仍是整数，但两个整数的商就不一定是整数，这证明整数集对加、减、乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算都封闭。根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类：数环和数域。二、数环

3、定义1：设S是复数集C的一个非空子集。如果对于S中任意两个数a,b来说，a+b，a-b，ab都在S内，那么就称S是一个数环。即数环是对加、减、乘三种运算封闭的非空数集。例如，上面所提到的整数集Z，有理数集Q，实数集R和复数集C都是数环，分别称为整数环，有理数环，实数环和复数环我们再看一些数环的例子。1、除了Z、Q、R、C外是否还有其他数环？问题：2、一个数环是否一定包含0元？4、除了零环外，是否还有只含有限个元素的数环？5、除了定义之外，判断一个集合是数环有没有其他简单的方法？3、有没有最小的数环？例1取定一个整数a,令S={na

4、nZ}，那么S是一个数环。事实上，

5、因为0=0aS,所以S非空。设n1，n2Z，那么n1an2a=(n1n2)aS，(n1a)(n2a)=(n1n2a)aS。例如取a=2，那么S=｛2n

6、nZ｝就是全体偶数所组成的数环。特别，如果a=0，那么S={0}。所以单独一个数0也组成一个数环，称为零环，这是最小的数环。例2令S={a+bi

7、a,bZ,i2=-1}，证明S是一个数环。证明：因为0=0+0iS,所以S非空。如果a+bi，c+diS，那么(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)iS,(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)iS.所以S是一个数环。定理1

8、.5.1：设S是一个非空数集，S是数环的充要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。定义2：设F是一个数环。如果（1）F含有一个不等于零的数，（2）如果a,bF，且b0，则那么则称F是一个数域。即数域是对除法也封闭的非零数环。三、数域或数域是对和、差、积、商（除数不为0）都封闭的含有非零数的数集。例如，有理数集Q，实数集R和复数集C都是数域，它们分别称为有理数域、实数域、复数域，它们是三个重要的数域。然而整数环Z不是数域。例1和例2的数环也不是数域。我们再看下列问题。问题：6、数域与数环之间有什么关系？7、除了Q、R、C外，是否还有其他的数域？8、一个数域必包含哪两个

9、元素？9、有没有最小的数域？最小的数域是什么？10、在判断一个数集是不是数域时，实际上要检验几种运算？定理1.5.2：任何数域都包含有理数域Q。定理1.5.3：设F是一个至少含两个不同数的数集，则F是数域的充要条件是F中任两数的差与商（除数不为零）仍属于F。4、最小的数域3、数域的定义2、数环的定义小结：1、代数运算及其封闭性3、下列各数集是否作成数环或数域．1、设和是数环，试问是不是数环？若是，给出证明，若不是举出反例。若和是数域情况又如何？两个数域的并，不一定是数域，能不能找出两个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。（是数域，则是数域的充要条件是或）。拓展研究2

10、、在Q与R之间是否还有别的数域？在R与C之间是否有别的数域？例：对任意素数P，是一个数域。在R与C之间不可能有别的数域。设有数域F，使设x=a+bi，且（若b=0，则，矛盾）。可见F=C。