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时间：2018-12-07
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1、1．5数环和数域1．证明，如果一个数环,那么有无限多个元素。证明：法一（正面证明）：为数环加法具有封闭性且为两两不同的数（否则，可以推出）有无限多个元素法二（反证法）：假设有有限多个元素不妨设为个为数环加法具有封闭性为两两不同的数且为中元，矛盾假设不正确，即：有无限多个元素2．证明：是数域。证明：令F为复数集C的非空子集又对有：F为数环又对有：及所以F的除法封闭所以F为数域。1．证明：是一个数环。不是一个数域。证明：（1）为数环的证明：为复数集的非空子集又对任意的有：为数环（2）不是数域的证明：但对除法不具封闭性不是数域2．证明：两个数环的交还是一个数环；两个数域的交还是一个数域。两个数环的
2、并是不是数环？证明：（1）两个数环的交还是数环：任取两个数环，令为复数集C的非空子集对任意的有：为数环同理：为数环（2）两个数域的交还是一个数域任取两个数环令根据（1）知是一个数环对任意的有是数域同理，即：为数域（3）两个数环的并不一定是数环取数环：，令，但即的加法不封闭不是数环1．设是一整数，令：由例1，是一个数环。设，记：证明：（i）是一个数环。证明：是复数集的非空子集对任意的有：对加，乘，减运算具有封闭性为数环。（ii）证明：充分性：对任意的（1）（2）由（1）、（2）知：必要性：（iii）是的最大公因数分析：本题实际上是证明集合相等，只要证明相互包含即可。证明：先证对任意的有：再证：
3、（1）又对任意的（2）（3）由（1）、（3）知：（4）由（2）、（4）知综合两个方面的证明，（iv）证明：由（iii）知：
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