《离散数学群环域格》PPT课件

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1、1第十章群与环主要内容群的定义与性质子群与群的陪集分解循环群与置换群环与域格2半群、独异点与群的定义定义10.1(1)设V=是代数系统，∘为二元运算，如果∘运算是可结合的，则称V为半群.(2)设V=是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元，则称V是含幺半群，也叫做独异点.有时也将独异点V记作V=.(3)设V=是独异点，eS关于∘运算的单位元，若aS，a1S，则称V是群.通常将群记作G.3实例例1(1),,,,都是半群，+是普通加

2、法.这些半群中除外都是独异点(2)设n是大于1的正整数，和都是半群，也都是独异点，其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法(3)为半群，也是独异点，其中为集合对称差运算(4)为半群，也是独异点，其中Zn={0,1,…,n1}，为模n加法(5)为半群，也是独异点，其中◦为函数的复合运算(6)为半群，其中R*为非零实数集合，◦运算定义如下：x,yR*,x◦y=y4例2设G={e,a,b,c}，G上的运算由下表给出，称为Klein

3、四元群eabceabceabcaecbbceacbae实例特征：1.满足交换律2.每个元素都是自己的逆元3.a,b,c中任何两个元素运算结果都等于剩下的第三个元素5有关群的术语定义10.2(1)若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无限群.群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作

4、G

5、.(2)只含单位元的群称为平凡群.(3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔(Abel)群.实例：和是无限群，是有限群，也是n阶群.Klein四元群是4阶群.<{0},+>是平凡

6、群.上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群.610.2子群与群的陪集分解定义10.5设G是群，H是G的非空子集，(1)如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群,记作H≤G.(2)若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作H的子群.当n≠1时,nZ是Z的真子群.对任何群G都存在子群.G和{e}都是G的子群，称为G的平凡子群.710.4环与域定义10.12设是代数系统，+和·是二元运算.如果满足以下条件:(1)构

7、成交换群(2)构成半群(3)·运算关于+运算适合分配律则称是一个环.通常称+运算为环中的加法，·运算为环中的乘法.环中加法单位元记作0，乘法单位元（如果存在）记作1.对任何元素x，称x的加法逆元为负元，记作x.若x存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作x1.8环的实例例15(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环Q，实数环R和复数环C.(2)n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环，称为n阶实矩阵环.(3)集合的幂集P(B)关于集

8、合的对称差运算和交运算构成环.(4)设Zn＝{0,1,...,n－1}，和分别表示模n的加法和乘法，则构成环，称为模n的整数环.9特殊的环定义10.13设是环(1)若环中乘法·适合交换律，则称R是交换环(2)若环中乘法·存在单位元，则称R是含幺环(3)若a,b∈R，ab=0a=0∨b=0，则称R是无零因子环(4)若R既是交换环、含幺环、无零因子环，则称R是整环(5)设R是整环，且R中至少含有两个元素.若a∈R*，其中R*=R{0}，都有a－1∈R，则称R是域.10例17(1)整数环Z、有

9、理数环Q、实数环R、复数环C都是交换环,含幺环,无零因子环和整环.除了整数环以外都是域.(2)令2Z={2z

10、z∈Z}，则<2Z,+,·>构成交换环和无零因子环.但不是含幺环和整环.(3)设nZ,n2,则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环.(4)构成环，它是交换环,含幺环,但不是无零因子环和整环.23=32=0，2和3是零因子.注意：对于一般的n,Zn是整环当且仅当n是素数.实例1111.1格的定义与性质定义11.1设是偏序集，如

11、果x,yS，{x,y}都有最小上界和最大下界，则称S关于偏序≼作成一个格.求{x,y}最小上界和最大下界看成x与y的二元运算∨和∧，例1设n是正整数，Sn是n的正因子的集合.D为整除关系，则偏序集构成格.x,y∈Sn，x∨y是lcm(x,y)，