离散数学第七讲群、环、域

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1、一、群的定义和性质定义1：群〈G,*〉是一代数系统,其中二元运算*满足:(1)运算*是可结合的；(2)存在么元e；(3)对每一a∈G,存在一个元素a-1,使a-1*a=a*a-1=e如〈Q,×,1〉〈Q+,×,1〉〈{1},×，1〉6.7群不是群（0无逆元）是群是群1定义2：如果G是有限集合,则称〈G,*〉是有限群;如果G是无限集合,则称〈G,*〉是无限群。有限群G的基数

2、G

3、称为群的阶数。如〈{1},×〉是有限群，阶数为1；〈I,+〉是无限群。定义3：如果群〈G,*〉中的运算*是可交换的,则称该群为可交换群,或称阿贝尔群。如〈I,+〉是阿贝尔群。一、群的定义和性质2例1：①〈Q+,

4、×,1〉②设A是任一集合,P表示A上的双射函数集合,”。”表示函数合成，“-1”表示求逆运算，〈P,。,-1,IA〉③〈N,max〉④代数〈Nk,+k,-1,0〉代数〈Nk,×k〉一、群的定义和性质是Abel群是一个群,通常这个群不是阿贝尔群。是群,这里x-1=k-x不是群,因为0元素没有逆元不是群。运算max和min一般地不能用作群的二元运算,因为如果载体多于一个元素,逆运算不能定义。3群是半群和独异点的特定情况,有关半群和独异点的性质在群中也成立,群的性质还有：定理1:如果〈G,*〉是一个群,则对于任何a、b∈G,(a)存在一个唯一的元素x,使得a*x=b。(b)存在一个唯一的元

5、素y,使得y*a=b。证：(a)至少有一个x满足a*x=b,即x=a-1*b,因为a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b如果x是G中满足a*x=b的任意元素,则x=e*x=(a-1*a)*x=a-1*(a*x)=a-1*b所以,x=a-1*b是满足a*x=b的唯一元素。(b)同理可证。一、群的定义和性质4定理2：如果〈G,*〉是一个群,则对于任何a、b、c∈G,证：因为群的每一元素都有逆元,本定理显然成立。定理3：么元是群中唯一等幂元素。证：如果x是等幂元素,则么元是群中唯一等幂元素。一、群的定义和性质5定理4：群〈G,*〉的运算表中的每一行或每一列都是G中元素的一个置

6、换。证：i)首先,证明运算表中的行或列所含G的一个元素不可能多于一次。（反证法）如果对应于元素a∈Ｇ的那一行中有两个元素都是k,即a*b1=a*b2=k,根据定理2有b1=b2,而b1≠b2,矛盾。对于列也一样可以证明。一、群的定义和性质6定理4：群〈G,*〉的运算表中的每一行或每一列都是G中元素的一个置换。证：ii)其次,要证明G的每一个元素都在运算表的每一行和每一列中出现。考察对应于元素a的那一行,设b是G中的任一元素,由于b=a*(a-1*b),所以b必定出现在对应于a的那一行中。对于列也可同样证明。一、群的定义和性质7定理4：群〈G,*〉的运算表中的每一行或每一列都是G中元素

7、的一个置换。证：iii)最后,因为〈G,*〉中含有么元,所以没有两行或两列是完全相同的。综合以上结果便得出:运算表中每一行都是G的元素的一个置换,并且每一行都是不同的置换。同样的结论适合于列。证毕。定理5：群中没有零元。一、群的定义和性质8定理6:如果〈G,*〉是一个群,则对于任何a、b∈G,(a*b)-1=b-1*a-1证:由于(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=a*a-1=e而这里逆元是唯一的,所以(a*b)-1=b-1*a-1。推论：思考：一阶群、二阶群、三阶群各有几个？一、群的定义和性质9为了继续介绍群的性质,我们首先定义群〈G,*〉的任意元素a的

8、幂。如果n∈N,则由以上定义可知,对任意m、k∈I,am,ak都是有意义的,另外群中结合律成立,不难证明以下指数定律成立:(m、k∈I)(m、k∈I)一、群的定义和性质10定义4:设〈G,*〉是一个群,且a∈G,如果存在正整数n使an=e,则称元素的阶是有限的,最小的正整数n称为元素a的阶。如果不存在这样的正整数n,则称元素a具有无限阶。如：①群的么元e的阶？②群〈I,+〉中各元素的阶？一、群的定义和性质1么元0的阶为1，非零元素有无限阶。11定理7：如果群〈G,*〉的元素a拥有一个有限阶n,则ak=e,当且仅当k是n的倍数。证:充分性：设k、m、n是整数。如果k=mn,则ak=am

9、n=(an)m=em=e必要性：假定ak=e,且k=mn+t,0≤t＜n,于是at=ak-mn=ak*a-mn=e*(an)-m=e*e-m=e由定义可知,n是使an=e的最小正整数,而0≤t＜n,所以t=0,得k=mn。证毕。这样,如果an=e,并且没有n的因子d(1＜d＜n)能使ad=e,则n是元素a的阶。例如,如果a8=e,但a2≠e,a4≠e,则8必定是a的阶。一、群的定义和性质12定理8:群中的任一元素和它的逆元具有同样的