离散数学 6.2 环与域

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1、6.2环与域环的定义与实例特殊的环交换环含幺环无零因子环整环域1环的定义定义设是代数系统，+和·是二元运算.如果满足以下条件:（1）构成交换群（2）构成半群（3）·运算关于+运算适合分配律则称是一个环.2环中的术语通常称+运算为环中的加法，·运算为环中的乘法.环中加法幺元记作0.乘法幺元（如果存在）记作1.环中加法幺元0恰好是乘法的零元.对任何元素x，称x的加法逆元为负元，记作x.若x存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作x1.3环的实例(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于

2、普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环Q，实数环R和复数环C.(2)n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环，称为n阶实矩阵环.(3)集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环.(4)设Zn＝{0,1,...,n－1}，和分别表示模n的加法和乘法，则构成环，称为模n的整数环.4特殊的环定义设是环，(1)若环中乘法·适合交换律，则称R是交换环.(2)若环中乘法·存在幺元，则称R是含幺环.(3)若a,b∈R，ab=0a=0∨b=0，则称R是无零因子环

3、.(4)若R既是交换环、含幺环，也是无零因子环，则称R是整环.(5)若R为整环，

4、R

5、>1,且aR*=R-{0}，a-1R,则称R为域.5零因子的定义与存在条件设是环，若存在ab=0,且a0,b0,称a为左零因子，b为右零因子，环R不是无零因子环.实例，其中23=0，2和3都是零因子.无零因子环的条件：可以证明：ab=0a=0b=0消去律6特殊环的实例(1)整数环Z、有理数环Q、实数环R、复数环C都是交换环、含幺环、无零因子环和整环.其中除Z之外都是域(2)令2Z={2z

6、z∈Z}，则<

7、2Z,+,·>构成交换环和无零因子环.但不是含幺环和整环.(3)设nZ,n2,则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环.(4)构成环，它是交换环、含幺环，但不是无零因子环和整环.注意：对于一般的n,Zn是整环且是域n是素数.7例题判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域.(1)A={a+bi

8、a,bQ},i2=1,运算为复数加法和乘法.(2)A={2z+1

9、zZ},运算为普通加法和乘法(3)A={2z

10、zZ},运算为普通加法和乘法(4)A={x

11、

12、x≥0∧xZ},运算为普通加法和乘法.(5)，运算为普通加法和乘法解(2),(4),(5)不是环.为什么？(1)是环,是整环,也是域.(3)是环,不是整环和域.8环的性质定理设是环，则(1)a∈R，a·0=0·a=0(2)a,b∈R，(a)b=a(b)=ab(3)a,b∈R，(a)(b)=ab(4)a,b,c∈R，a(bc)=abac，(bc)a=baca9环中的运算环中加法的交换律、结合律；乘法的结合律；乘法对加法的分配律.例在环中计算(a+b)3,(ab)2解(a+b)3=(a+b)(

13、a+b)(a+b)=(a2+ba+ab+b2)(a+b)=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3(ab)2=(ab)(ab)=a2baab+b2注：在初等代数中的加法和乘法运算都是在实数域中进行，乘法可交换106.3格与布尔代数格的定义与实例格的性质对偶原理交换律、结合律、幂等律、吸收律格的等价定义子格格的同构特殊的格：分配格、有界格、有补格、布尔格11格的定义定义设是偏序集，如果x,y≼S，{x,y}都有最小上界和最大下界，则称S关于偏序≼构成一个格。由于最小上界和最大下界的惟一性，可

14、以把求{x,y}的最小上界和最大下界看成x与y的二元运算∨和∧，即x∨y和x∧y分别表示x与y的最小上界和最大下界.注意：这里出现的∨和∧符号只代表格中的运算，而不再有其他的含义.12格的实例例设n是正整数，Sn是n的正因子的集合.D为整除关系，则偏序集构成格.x,y∈Sn，x∨y是lcm(x,y)，即x与y的最小公倍数.x∧y是gcd(x,y)，即x与y的最大公约数.下图给出了格，和.13例判断下列偏序集是否构成格，并说明理由.(1)，其中P(B)是集合B的幂集.(

15、2)，其中Z是整数集，≤为小于等于关系.(3)偏序集的哈斯图分别在下图给出.格的实例（续）解(1)是格.称为B的幂集格.(2)是格.(3)都不是格.14格的性质：对偶原理定义设f