离散数学-第8讲-环和域教学教材.ppt

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1、离散数学（二）1环和域环11整环2主要内容:环和域的定义重点:重点和难点:域3域的定义难点:一、环环的定义：设是一代数系统,+和是二元运算，若满足(1)是阿贝尔群(加法群)．(2)是半群．(3)乘运算对加运算+可分配，即对所有a,b,cA有a(b+c)=ab+ac和(b+c)a=(ba)+(ca)称代数结构为环(ring).例1(a)是个环,因为是加法群,0是么元;是半群,乘法在加法上可分配。(b)

2、是个环,这里Nk={0,1,…,k-1},k＞0,+k和×k分别是模k加法和模k乘法。因为是阿贝尔群,0是么元;是半群,对任意元素a,b,c∈Nk,有又×k可交换,所以,乘法在加法上可分配。一、环定理1：设为环，0是加法么元,那么对任意a,b,cR（1）a·0=0·a=0(加法么元必为乘法零元)（2）(-a)·b=a·(-b)=-(a·b)（3）(-a)·(-b)=a·b（4）a·(b-c)=a·b-a·c（5）(b-c)·a=b·a-c·a其中,-a表示a的加法逆元,并将

3、a+(-b)记为a-b。证明(3)(-a)·(-b)+(-a)·b=(-a)·[(-b)+b]=(-b)·0=0(a·b)+(-a)·b=[a+(-a)]·b=0·b=0所以(-a)·(-b)=a·b(4)a·(b-c)=a·[b+(-c)]=a·b+a·(-c)=a·b+[-(a·c)]=a·b-a·c(5)(b-c)·a=[b+(-c)]·a=b·a+(-c)·a=b·a+(-c·a)=b·a-c·a二、环、整环含零因子/无零因子环的定义：是环,a,b∈R,若a≠0且b≠0,但是a·b=0,则称

4、,+,·>是含零因子环,a、b称为零因子。不含零因子的环称为无零因子环。为无零因子环∀a,b∈R,a≠0且b≠0时必有a·b≠0。即a·b=0时，有a=0或b=0定理2：环是无零因子满足可约律。证明：(1)必要性：∀a,b,c∈R,且a≠0，若a·b=a·c,则有a·b-a·c=0,a·b-a·c=a·b+a·(-c)=a·(b-c)=0。由于无零因子，则b=c,可见满足可约律。(2)充分性：∀b,c∈R,b·c=0,证明b=0或c=0。如果b·c=0且b≠

5、0，那么b·c=b·0，根据可约律可得c=0；如果b·c=0且c≠0，那么b·c=0·c，根据可约律可得b=0。可见环无零因子。二、环、整环整环的定义：是环,(1)若R上运算·可交换的,称〈R,+,·〉是可交换环;(2)若R关于运算·有么元，称〈R,+,·〉是含么环;(3)如果是可交换的，含幺而无零因子环，则称它为整环。例2(a)是整环。因为·可交换,1是乘法么元,可约律成立。二、环、整环整环的定义：是环,(1)若R上运算·可交换的,称〈R,+,·

6、〉是可交换环;(2)若R关于运算·有么元，称〈R,+,·〉是含么环;(3)如果是可交换的，含幺而无零因子环，则称它为整环。例2(b)不是整环,因为3×62=0,3和2是零因子。但是整环，N7={0,1,2,3,4,5,6}，根据定理2，只需证明反证：假如b≠c,不妨设b>c,存在整数i,j使得ab=7i+r，ac=7j+r(0<=r<=6,i>j)两式相减可得，a(b-c)=7(i-j)，那么7

7、a(b-c)，但由于0

8、b-c)，矛盾，所以b=c。三、域域的两个定义：如果是整环,

9、F

10、＞1,是群,则是域(定义I)。域也可以如下定义(定义II)：(1)是阿贝尔群，(2)是阿贝尔群，(3)乘法对加法可分配。例如、都是域；不是域(因为不是阿贝尔群)。三、域域的两个定义的等价性：由整环定义容易得出，定义I定义II下面证明定义II定义I：(1)F-{0}≠Ø知

11、F-{0}

12、>0,即

13、F

14、>1；(2)

15、0},·>是阿贝尔群知是群；(3)证明是整环。是环：是阿贝尔群；是半群；乘法对加法可分配；是阿贝尔群,故F-{0}上·可交换,可知F上·可交换；是阿贝尔群,可知含么元0；是阿贝尔群,F-{0}关于·封闭,即∀x,y∈F-