离散数学第08章环和域

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1、第八章环和域8.1环8.2子环与理想8.3环同态与环同构8.4域8.5有限域退出8.1环定义8.1.1给定，其中+和·都是二元运算，若①是Abel群，②是半群，③·对于+是可分配的，则称是环。为了方便，通常将+称为加法，将·称为乘法，把称为加法群，称为乘法半群。而且还规定，运算的顺序先乘法后加法。环的加法群的幺元或加法零元称为环的零元，以0示之。若a∈R，则其加法逆元以-a表之。常常又根据环中乘法半群满足不同性质，将环冠于不同的名称。定义8.1.2给定环

2、，若是可交换半群，则称是可交换环；若是独异点，则称是含幺环；若满足等幂律，则称是布尔环。通常用1表示的幺元。在中，若a∈R的逆元存在，则以a-1表示其乘法逆元。定理8.1.1是环(a)(a∈R→a·0=0·a=0)下面讨论加法逆元的性质，为方便记，a+(-b)表成a-b。定理8.1.2是环(a)(b)(a，b∈R→-(a·b)=a·(-b)=(-a)·b同理-(a·b)=(-a)·b推论1(a)(b)(

3、a，b∈R→(-a)·(-b)=a·b)推论2(a)(b)(c)(a，b，c∈R→(a·(b-c)=a·b-a·c)∧((b-c)·a=b·a-c·a))由定理8.1.1可知，环中任二元素相乘，若其中至少有一个为零元，则乘积必为零元。但反之未必真，这是因为在环中，两个非零元的乘积可能为零元，这便引出环的零因子的概念。定义8.1.3给定环，则环中有零因子:=(a)(b)(a，b∈R∧a≠0∧b≠0→a·b=0)并称该环为含零因子环，a和b是零因子。注意，零因子其自身非零也。定理8.1.3给定环

4、+，·>，则为无零因子环满足可约律。定义8.1.4给定可交换含幺环，若无零因子，则称为整环。由定义8.1.3知道，环中可约律与无零因子是等价的，因此整环是无零因子可交换含幺环或者说是满足可约律可交换含幺环。下面再给出一个定理以结束本节。定理8.1.4给定含幺环且R≠{0}，则

5、R

6、≥2。8.2子环与理想与讨论群与子群一样，对于环也要讨论子环。定义8.2.1给定环和非空集合SR，若是的子群，是的子半群

7、，则称是的子环。这里也有平凡子环与真子环之说，与平凡子群和真子群类似。由环的定义知道，若为群的子群，是的子半群，在R上乘法对于加法分配律成立，则是的子环。显然由于SR而分配律、结合律在R中成立。则在S中亦成立。于是，子环可定义如下：若(1)≠SR(2)是的子群(3)S对·满足封闭性则为的子环。由此及上节定理7.6.3：是的子群的充要条件是对任意a，b∈S则a⊙b-1∈

8、S，便可得到下面定理。定理8.2.1给定环及≠SR，则是的子环(a)(b)(a，b∈S→a-b∈S∧a·b∈S)本定理表明为的子环的主要条件是S对减法运算封闭和S对乘法运算封闭。由此看出，含幺环的子环未必也含幺元，因为是含幺元1的环，其子环不再含乘法幺元。下面引进一种特殊的子环，称之为理想，理想在环中与正规子群对于群的地位相仿。定义8.2.2设为的子环，若对于T中任何元t和R中任何元a，有a·t∈T且

9、t·a∈T，则称为环的理想。显然，若是可交换环，a·t∈S或t·a∈S只要其一即可。由定义可知，若为理想，则R中任二元素相乘时，若至少有一个元素属于T，则乘积必属于T。当是环的子环时，要求S对于乘法运算封闭；而当是环的理想时，要求更强的封闭性，即T对于乘上R中任一元素的运算封闭。注意到子环与理想的定义，不难证明如下定理：定理8.2.2给定环及≠TR，则为环的理想(t)(t1

10、)(a)(t，t1∈T∧a∈R→(t-t1)∈T∧t·a∈T∧a·t∈T)定义8.2.3令是环之理想，若在T中存在元g，使得T=R·g，其中R·g={a·g

11、a∈R}，则称为环