《离散数学》几个典型的代数系统-2(环域格)

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1、第六章几个典型的代数系统环的定义定义设是代数系统，+和·是二元运算.如果满足以下条件:（1）构成交换群（2）构成半群（3）·运算关于+运算适合分配律则称是一个环.6.2环与域2环中的术语通常称+运算为环中的加法，·运算为环中的乘法.环中加法幺元记作0.对任何元素x，称x的加法逆元为负元，记作x.乘法幺元（如果存在）记作1.若x存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作x1.环中加法幺元0恰好是乘法的零元.6.2环与域3理解一个集合，两种运算，六个条件：加法结合律加法

2、交换律加法存在单位元（零元）加法存在逆元（副元）乘法存在结合律乘法对加法的分配律6.2环与域4环的实例(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环Q，实数环R和复数环C.(2)n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环，称为n阶实矩阵环.(3)集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环.(4)设Zn＝{0,1,...,n－1}，和分别表示模n的加法和乘法，则构成环，称为模n的整数环.6.2环与域5特殊的环定义设

3、+,·>是环，(1)若环中乘法·适合交换律，则称R是交换环.(2)若环中乘法·存在幺元，则称R是含幺环.注：环中加法的单位元是乘法的零元。,,,（，分别是模n加法和乘法运算）都是交换环；不是交换环。,,,，都是含么环，么元分别为1，1，1，1，单位矩阵。6.2环与域6零因子的定义与存在条件定义：设是环，若存在ab=0,且a0,b0,称a为R的左零因

4、子，b为R的右零因子，环R不是无零因子环.若a,b∈R，ab=0a=0∨b=0，则称R是无零因子环.,,都是无零因子环；不一定是无零因子环，如n＝6时，有零因子2和3，但n＝5时是无零因子环。6.2环与域7(4)若既是交换环、含幺环，也是无零因子环，则称R是整环.(5)环

5、R

6、>1,含幺和无零因子，且aR（a0，0是加法的单位元）有a-1R，则称R是除环.(5)若R为整环，

7、R

8、>1,且aR*=R-{0}，a-1R

9、,则称R为域.既是整环又是除环，则是域。8特殊环的实例(1)整数环Z、有理数环Q、实数环R、复数环C都是交换环、含幺环、无零因子环和整环.其中除Z之外都是域(2)令2Z={2z

10、z∈Z}，则<2Z,+,·>构成交换环和无零因子环.但不是含幺环和整环.(3)设nZ,n2,则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环.(4)构成环，它是交换环、含幺环，但不是无零因子环和整环.注意：对于一般的n,Zn是整环且是域n是素数.6.2环与域9例题判断下

11、列集合和给定运算是否构成环、整环和域.(1)A={a+bi

12、a,bQ},i2=1,运算为复数加法和乘法.(2)A={2z+1

13、zZ},运算为普通加法和乘法(3)A={2z

14、zZ},运算为普通加法和乘法(4)A={x

15、x≥0∧xZ},运算为普通加法和乘法.(5)，运算为普通加法和乘法解(2),(4),(5)不是环.为什么？(1)是环,是整环,也是域.(3)是环,不是整环和域.6.2环与域10环的性质定理设是环，则(1)a∈R，a·0=0·a=0证明：a·0＝a·(0+0)=a·0+a·0,由消去

16、律a·0＝0(2)a,b∈R，(a)·b=a·(b)=a·b证明：(a)·b＋a·b=(-a+a)·b=0·b=0,反之：a·b＋(a)·b＝0，故(a)·b的加法逆元是ab。(3)a,b∈R，(a)(b)=ab证明：(a)(b)=-(a(-b))=-(-(ab))=ab(4)a,b,c∈R，a(bc)=abac，(bc)a=baca6.2环与域11环中的运算环中加法的交换律、结合律；乘法的结合律；乘法对加法的分配律.例在环中计算(a+b)3,(ab)2解(a+b)3=(a+b)(a

17、+b)(a+b)=(a2+ba+ab+b2)(a+b)=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3(ab)2=(ab)(ab)=a2baab+b2注：在初等代数中的加法和乘法运算都是在实数域中进行，乘法可交换6.2环与域12格的定义定义设是偏序集，如果x,y≼S，{x,y}都有最小上界和最