第6章 几个典型的代数系统

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1、第6章几个典型的代数系统6.1半群与群6.2环与域6.3格与布尔代数6.4题例分析定义6.1设V=是代数系统,∘为二元运算,如果∘运算是可结合的,则称V为半群。如果半群V=中的二元运算∘是可交换的,则称V为可交换半群。如果半群V=中的二元运算含有幺元,则称V为含幺半群,也可叫作独异点。有时将独异点记为。半群的子代数叫作子半群,独异点的子代数叫作子独异点。6.1半群与群例1(1),,,,是半群,+是普通加法,其中除外都是独异点.(2)设n是大于1的正整数,

2、>和都是半群和独异点,其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法.(3)为半群,也是独异点,其中为集合的对称差运算.(4)为半群,也是独异点,其中Zn={0,1,…,n1},为模n加法.(5)为半群,也是独异点,其中∘为函数的复合运算.(6)为半群,其中R*为非零实数集合,∘运算定义如下:x,y∈R*,x∘y=y.是T的单位元,T本身可以构成独异点,但不是V2的子独异点,因为V2的单位元是e.例2设半群V1=,独异点V2=.其中·为矩阵乘法,e为2阶单位矩阵,且,则TS,且T是

3、V1=的子半群.定义6.3(1)设V1=,V2=是半群,f:S1→S2.若对任意的x,y∈S1有 f(x∘y)=f(x)∗f(y)则称f为半群V1到V2的同态映射,简称同态.(2)设V1=,V2=是独异点,f:S1→S2.若对任意的x,y∈S1有 f(x∘y)=f(x)∗f(y)且f(e1)=e2,则称f为独异点V1到V2的同态映射,简称同态.定义6.2设V1=,V2=为半群,则V1×V2=也是半群,且对任意,∈S1×S2有<

4、a,b>·=,称V1×V2为V1和V2的积半群。则f是半群V1=的自同态,但不是独异点V2=的自同态,因为f(e)e.例3设半群V1=,独异点V2=.其中·为矩阵乘法,e为2阶单位矩阵,且令定义6.4设是代数系统,∘为二元运算。如果∘运算是可结合的,存在幺元e∈G,并且对G中的任何元素x,都有x1∈G,则称G为群。实例:(1),,都是群;不是群.(2)是群,而不是群.(3)是群,

5、为对称差运算.(4),也是群.Zn={0,1,…,n1},为模n加Klein四元群设G={e,a,b,c},G上的运算由下表给出,称为Klein四元群eabceabceabcaecbbceacbae运算表特征:对称性---运算可交换主对角线元素都是幺元---每个元素是自己的逆元a,b,c中任两个元素运算都等于第三个元素.若群G是有穷集,则称G是有限群,否则为无限群。群G中的元素个数称为群G的阶,有限群G的阶。记作

6、G

7、。若群G中的二元运算是可交换的,则称G为交换群,也叫作阿贝尔(Abel)群。例:是无限群是有限群,也是n阶群K

8、lein四元群是4阶群n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群.都是交换群设G是群,x∈G,n∈Z,则x的n次幂xn定义为:实例:在中有23=(21)3=13=111=0在中有(2)3=23=2+2+2=6设G是群,x∈G,使得等式xk=e成立的最小正整数k称为x的阶(或周期),记作

9、x

10、=k,称x为k阶元。若不存在这样的正整数k,则称x为无限阶元。实例:在中,2和4是3阶元,3是2阶元,1和5是6阶元0是1阶元在中,0是1阶元,其它整数的阶都不存在.定理6.1设G为群,则G中的幂运算满足:(1)x∈

11、G,(x1)1=x. (2)x,y∈G,(xy)1=y1x1. (3)x∈G,xnxm=xn+m,n,m∈Z. (4)x∈G,(xn)m=xnm,n,m∈Z. (5)若G为交换群,则(xy)n=xnyn.证:略定理6.2G为群,a,b∈G,方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有唯一解.证:a1b代入方程左边的x得a(a1b)=(aa1)b=eb=b所以a1b是该方程的解.下面证明唯一性.假设c是方程ax=b的解,必有ac=b,从而有c=ec=(a1a)c=a1(ac)=a

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1、第6章几个典型的代数系统6.1半群与群6.2环与域6.3格与布尔代数6.4题例分析定义6.1设V=是代数系统,∘为二元运算,如果∘运算是可结合的,则称V为半群。如果半群V=中的二元运算∘是可交换的,则称V为可交换半群。如果半群V=中的二元运算含有幺元,则称V为含幺半群,也可叫作独异点。有时将独异点记为。半群的子代数叫作子半群,独异点的子代数叫作子独异点。6.1半群与群例1(1),,,,是半群,+是普通加法,其中除外都是独异点.(2)设n是大于1的正整数,

2、>和都是半群和独异点,其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法.(3)为半群,也是独异点,其中为集合的对称差运算.(4)为半群,也是独异点,其中Zn={0,1,…,n1},为模n加法.(5)为半群,也是独异点,其中∘为函数的复合运算.(6)为半群,其中R*为非零实数集合,∘运算定义如下:x,y∈R*,x∘y=y.是T的单位元,T本身可以构成独异点,但不是V2的子独异点,因为V2的单位元是e.例2设半群V1=,独异点V2=.其中·为矩阵乘法,e为2阶单位矩阵,且,则TS,且T是

3、V1=的子半群.定义6.3(1)设V1=,V2=是半群,f:S1→S2.若对任意的x,y∈S1有 f(x∘y)=f(x)∗f(y)则称f为半群V1到V2的同态映射,简称同态.(2)设V1=,V2=是独异点,f:S1→S2.若对任意的x,y∈S1有 f(x∘y)=f(x)∗f(y)且f(e1)=e2,则称f为独异点V1到V2的同态映射,简称同态.定义6.2设V1=,V2=为半群,则V1×V2=也是半群,且对任意,∈S1×S2有<

4、a,b>·=,称V1×V2为V1和V2的积半群。则f是半群V1=的自同态,但不是独异点V2=的自同态,因为f(e)e.例3设半群V1=,独异点V2=.其中·为矩阵乘法,e为2阶单位矩阵,且令定义6.4设是代数系统,∘为二元运算。如果∘运算是可结合的,存在幺元e∈G,并且对G中的任何元素x,都有x1∈G,则称G为群。实例:(1),,都是群;不是群.(2)是群,而不是群.(3)是群,

5、为对称差运算.(4),也是群.Zn={0,1,…,n1},为模n加Klein四元群设G={e,a,b,c},G上的运算由下表给出,称为Klein四元群eabceabceabcaecbbceacbae运算表特征:对称性---运算可交换主对角线元素都是幺元---每个元素是自己的逆元a,b,c中任两个元素运算都等于第三个元素.若群G是有穷集,则称G是有限群,否则为无限群。群G中的元素个数称为群G的阶,有限群G的阶。记作

6、G

7、。若群G中的二元运算是可交换的,则称G为交换群,也叫作阿贝尔(Abel)群。例:是无限群是有限群,也是n阶群K

8、lein四元群是4阶群n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群.都是交换群设G是群,x∈G,n∈Z,则x的n次幂xn定义为:实例:在中有23=(21)3=13=111=0在中有(2)3=23=2+2+2=6设G是群,x∈G,使得等式xk=e成立的最小正整数k称为x的阶(或周期),记作

9、x

10、=k,称x为k阶元。若不存在这样的正整数k,则称x为无限阶元。实例:在中,2和4是3阶元,3是2阶元,1和5是6阶元0是1阶元在中,0是1阶元,其它整数的阶都不存在.定理6.1设G为群,则G中的幂运算满足:(1)x∈

11、G,(x1)1=x. (2)x,y∈G,(xy)1=y1x1. (3)x∈G,xnxm=xn+m,n,m∈Z. (4)x∈G,(xn)m=xnm,n,m∈Z. (5)若G为交换群,则(xy)n=xnyn.证:略定理6.2G为群,a,b∈G,方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有唯一解.证:a1b代入方程左边的x得a(a1b)=(aa1)b=eb=b所以a1b是该方程的解.下面证明唯一性.假设c是方程ax=b的解,必有ac=b,从而有c=ec=(a1a)c=a1(ac)=a

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