《离散数学》第六章几个典型的代数系统讲稿

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1、6.1半群与群一、本节主要内容半群与独异点半群定义与性质交换半群与独异点半群与独异点的子代数和积代数半群与独异点的同态群群的定义与性质子群与群的直积循环群置换群二、教学内容半群的定义与实例定义设V二vS,o＞是代数系统，o为二元运算，如果o运算是可结合的，则称V为半群.实例(1)＜Z+,+＞,vN,+＞,vZ,+＞,vQ,+＞,vR,+＞都是半群，+是普通加法.(2)设n是大于1的正整数，＜Mn(R),+＞和vMn(R),-＞都是半群，其中+和•分别表示矩阵加法和矩阵乘法.(3)VP(B),㊉〉为半群，其屮㊉为集合的对称差运算.(4)

2、＜Zn,©＞为半群,其中Zn={OJ,...,n-l},㊉为模n加法.(5)＜AA,o＞为半群，其屮o为函数的复合运算.(6)＜R*,o＞为半群，其中R*为非零实数集合，o运算定义如下：Vx,yWR*,xoy=y元素的幕运算性质元素的幕运算定义设V=＜S,o＞为半群，对任意xWS,规定：xl=Xxn+1=xnox,n^Z+幕运算规则：xnoxm=xn+m(xn)m=xnmm,nCZ+证明方法：数学归纳法特殊的半群定义设V二vs,o＞是半群(1)若o运算是可交换的，则称V为交换半群・(2)若ees是关于o运算的幺元，则称V是含幺半群，也

3、叫做独异点.独异点V记作V二＜S,o,e＞独异点的幕独异点的幕运算定义xO=exn+1=xnox,n^N幕运算规则xnoxm二xn+m(xn)m=xnmm，nUN交换半群和独异点的实例例1(1)vN,+,0>,vZ,+,0>,vQ,+,0>,vR,+,0>都是交换半群，也是独异点，+是普通加法.(2)设n是大于1的正整数，和都是独异点，其屮+和•分别表示矩阵加法和矩阵乘法.加法构成交换半群，乘法不是交换半群.(3)vP(B),㊉,0>为交换半群和独异点，其中㊉为集合的对称差运算.(4)

4、>为交换半群与独异点，其中Zn={0,1,…，n-1},㊉为模n加法.(5)为独异点，不是交换半群，其中o为函数的复合运算.半群与独异点的子代数定义半群的子代数称为子半群，独异点的子代数称为子独异点判断方法设VxS,o>为半群，T是S的非空子集，T是V的子半群当且仅当T对o运算封闭.设V二为独异点，T是V的子独异点当且仅当T对o运算封闭，且eeT实例：vZ+,+>,是vZ,+>的子半群，是vZ,+>的子独异点，vZ+,+>不是的子独异点.半群与独异点的积代数定义设VlxSl

5、,o>,V2xS2,*>是半群(或独异点)，令S二S1XS2,定义S上的•运算如下：X/va,b>,vc,d>wS,-=称vS,・>%VI和V2的积半群(直积)，记作V1XV2.若VI=和V2=vS2,*,e2>是独异点，贝9V1XV2=,V2=是半群，(p：S1-S2.若对任意的x,yesi有(p(xoy)=(p(x)*(p(y)则称

6、V2的同态映射，简称同态.(2)设V1二vSl,o,el>,V2=是独异点，(p：Sl-＞S2.若对任意的x,yesi有(p(xoy)=(p(x)*(p(y)且(p(el)=e2,则称＜p为独异点VI到V2的同态映射，简称同态.同态的实例例2设半群VI二vS,・＞,独异点V2二其中•为矩阵乘法，e为2阶单位矩阵,(fa0Yl(a＜p是半群VI的自同态，不是独异点V2的自同态，因为它没有将V2的单位元映到V2的单位元.群的定义与实例定义设＜G,o＞是代数系统，o为二元运算.如果o运算是可结合的，存在幺元eec,并且对G

7、中的任何元素x都有x-ieG,则称G为群.群的实例(1)v乙+＞,＜Q,+＞,vR,+＞是群；vZ+,+＞,vN,+＞不是群.⑵＜Mn(R),+＞是群，而vMn(R),-＞不是群.⑶＜P(B),㊉〉是群，㊉为对称差运算.(4)＜Zn,©＞是群.Zn={0,1,n-1},㊉为模n加.Klein四元群设G={e,a,b,c},G上的运算由下表给出，eabceeabcaaecbbbceaccbae称为Klein四元群群中的术语实例vZ,+＞和＜R,+＞是无限群vZn,㊉〉是有限群，也是n阶群Klein四元群G={e,a,b,c}是4阶群上述

8、群都是交换群n阶(n＞2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群.群中的术语(续定义为定义设G是群，xWG,nez,贝Ux的n次幕xnen=0neZxn=0(x-1ynm--n,n<0群中的术语设G