几个典型代数系统

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1、第六章几个典型的代数系统本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．6.1半群 定义6.1称代数结构为半群（semigroups），如果*运算满足结合律．当半群含有关于*运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．例6.1，，都是半群，后两个又是独异点．半群及独异点的下列性质是明显的．定理6.1设为一半群,那么（1）的任一子代数都是半群，称为的子半群．（2）若独异点

2、,e>的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为的子独异点．证明简单，不赘述．定理6.2设,是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有（1）同态象为一半群．（2）当为独异点时，则为一独异点.定理6.3设为一半群,那么（1）为一半群，这里SS为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．（2）存在S到SS的半群同态．证（l）是显然的．为证（2）定义函数h:S→SS：对任意aÎSh（a）=f

3、afa：S→S定义如下:对任意xÎS，fa（x）=a*x现证h为一同态．对任何元素a,bÎS．h(a*b)＝fa*b（l1－1）而对任何xÎS，fa*b（x）=a*b*x=fa（fb（x））=fa○fb（x）故fa*b=fa○fb,由此及式（l1－1）即得h（a*b）=fa*b=fa○fb＝h（a）○h（b）本定理称半群表示定理。它表明，任一半群都可以表示为（同态于）一个由其载体上的函数的集合及函数合成运算所构成的半群。这里同构于----的一个子代数．6.2群 群是最重要的

4、代数结构类，也是应用最为广泛的代数结构类.我们以后要深入研究的代数结构环和域也都是以群为基础的.6.2.1群及其基本性质定义6.6称代数结构为群（groups）,如果（1）为一半群．（2）中有么元e.（3）中每一元素都有逆元．或者说，群是每个元素都可逆的独异点．群的载体常用字母G表示，因而字母G也常用于表示群．定义6.7设为一群．（1）若*运算满足交换律，则称G为交换群或阿贝尔群（Abelgroup）．阿贝尔群又称加群，常表示为（这里的+不是数加，而泛

5、指可交换二元运算．回忆:*常被称为乘）．加群的么元常用0来表示，常用-x来表示x的逆元.（2）G为有限集时，称G为有限群（finitegroup）,此时G的元素个数也称G的阶（order）；否则，称G为无限群（infinitegroup）．例6.6（1）（整数集与数加运算）为一阿贝尔群（加群）,数0为其么元.不是群．因为所有非零自然数都没有逆元.（2）（正有理数与数乘）为一阿贝尔群，1为其么元.不是群，因为数0无逆元．（3）为一k阶阿贝尔群,数0为其么元.

6、（4）设P为集合A上全体双射函数的集合，○为函数合成运算.那麽为一群．A上恒等函数EA为其么元。一般不是阿贝尔群.群的下列基本性质是明显的.定理1l.9设为群，那麽（1）G有唯一的么元，G的每个元素恰有一个逆元．（2）关于x的方程a*x＝b，x*a＝b都有唯一解．（3）G的所有元素都是可约的．因此，群中消去律成立：对任意a,x,ySa*x=a*y蕴涵x=y;x*a=y*a蕴涵x=y（4）当G¹{e}时,G无零元．（5）么元e是G的唯一的等幂元素.证（1）,（2）,（3）是十分明显的

7、．（4）若G有零元,那么它没有逆元，与G为群矛盾。（注意，G={e}时,e既是么元，又是零元.）（5）设G中有等幂元x，那么x*x=x又x=x*e所以x*x=x*e由（3）得x=e。由（3）我们得知，特别地，当G为有限群时，*运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列．从而有限群的运算表中没有一行（列）上有两个元素是相同的．因此，当G分别为1，2，3阶群时,*运算都只有一个定义方式(即,不计元素记号的不同,只有一张定义*运算的运算表,如表6.2所示),于是可以说,1,2,3阶的群都只有一个.定

8、理6.10对群的任意元素a,b，（1）(a-1)-1＝a．（2）(a*b)-1＝b-1*a-1（3）(ar)-1=(a–1)r（记为a–r）（r为整数）．证（2）(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=e(b-1*a-1)*(a*b)=b-1*(a-1*a)*b=e因此a*b的逆元为b-1*a-1，即(a*b)-1＝b-1*a-1．（3）对r归纳.r=1时