典型的代数系统.ppt

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1、114.3几个典型的代数系统14.3.1半群与独异点14.3.2群14.3.3环与域14.3.4格与布尔代数214.3几个典型的代数系统14.3.1半群与独异点14.3.2群14.3.3环与域14.3.4格与布尔代数3半群与独异点的定义与实例半群与独异点的幂运算半群与独异点的子代数和积代数半群与独异点的同态半群与独异点4半群与独异点的定义定义14.12设V=是代数系统，∘为二元运算，如果∘运算是可结合的，则称V为半群.设V=是半群，若e∈S是关于运算的单位元，则称V是含幺半群，也叫做独异点.有时也将独异点V记作V=.5实例例1(1),<

2、N,+>,,,是半群，+是普通加法,其中除外都是独异点.(2)设n是大于1的正整数,和都是半群和独异点，其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法.(3)，其中为集合的对称差运算.为半群，也是独异点.(4),其中Zn={0,1,…,n1}，为模n加法.为半群，也是独异点.(5)其中∘为函数的复合运算.为半群，也是独异点.(6)其中R*为非零实数集合，∘运算定义如下：x,y∈R*,x∘y=y.为半群.6定义(1)在半群中，x∈S，规定：x

3、1=x，xn+1=xn∘x,n∈Z+(2)在独异点中，x∈S，x0=e，xn+1=xn∘x，n∈N用数学归纳法不难证明x的幂遵从以下运算规则：xn∘xm=xn+m，(xn)m=xnm，在半群中m,n∈Z+，在独异点中m,nN，半群与独异点的幂运算7半群与独异点的子代数定义半群与独异点的子代数分别称为子半群与子独异点.判定方法：设V=是半群，TS，T非空，如果T对V中的运算∘封闭，则是V的子半群.设V=是独异点，TS，T非空，如果T对V中的运算∘封闭，而且e∈T，那么构成V的子独异点.8理由

4、:是T的单位元，T本身可以构成独异点，但不是V2的子独异点，因为V2的单位元是e.实例例：设半群V1=，独异点V2=.其中·为矩阵乘法，e为2阶单位矩阵,且，则TS，且T是V1=的子半群，但不是子独异点。9半群与独异点的同态定义14.13(1)设V1=，V2=是半群，f:S1→S2.若对任意的x,y∈S1有f(x∘y)=f(x)∗f(y)则称f为半群V1到V2的同态映射，简称同态.(2)设V1=，V2=是独异点，f:S1→S2.若对任意的x,y∈S1有f(x∘y)=f(

5、x)∗f(y)且f(e1)=e2,则称f为独异点V1到V2的同态映射，简称同态.10实例则f是半群V1=的自同态，但不是独异点V2=的自同态，因为f(e)e.设半群V1=，独异点V2=.其中·为矩阵乘法，e为2阶单位矩阵,且令1114.3几个典型的代数系统14.3.1半群与独异点14.3.2群14.3.3环与域14.3.4格与布尔代数12群群的定义与实例群中的术语群的性质子群的定义及判别群的同态与同构循环群置换群13群群的定义与实例群中的术语群的性质子群的定义及判别群的同态与同构循环群置换群14群的定义与实例定义14.14设

6、>是代数系统，∘为二元运算.如果∘运算是可结合的，存在单位元e∈G，并且对G中的任何元素x都有x1∈G，则称G为群.实例,,都是群；和不是群.是群，而不是群.是群，为对称差运算.，也是群.Zn={0,1,…,n1}，为模n加.15Klein四元群设G={e,a,b,c}，G上的运算由下表给出，称为Klein四元群eabceabceabcaecbbceacbae运算表特征：对称性---运算可交换主对角线元素都是幺元---每个元素是自己的逆元a,b,c中任两个元素运

7、算都等于第三个元素.16群群的定义与实例群中的术语群的性质子群的定义及判别群的同态与同构循环群置换群17群中的术语定义14.15(1)若群G是有穷集，则称G是有限群，否则为无限群.群G中的元素个数称为群G的阶，有限群G的阶记作

8、G

9、.(2)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔(Abel)群.实例：(1)和是无限群(2)是有限群，也是n阶群(3)Klein四元群是4阶群(4)n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵