第6章 几个典型的代数系统

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1、第6章几个典型的代数系统6.1半群与群6.2环与域6.3格与布尔代数6.4题例分析定义6.1设V=是代数系统，∘为二元运算，如果∘运算是可结合的，则称V为半群。如果半群V=中的二元运算∘是可交换的，则称V为可交换半群。如果半群V=中的二元运算含有幺元，则称V为含幺半群，也可叫作独异点。有时将独异点记为。半群的子代数叫作子半群，独异点的子代数叫作子独异点。6.1半群与群例1(1),,,,是半群，+是普通加法,其中除外都是独异点.(2)设n是大于1的正整数,

2、>和都是半群和独异点，其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法.(3)为半群，也是独异点，其中为集合的对称差运算.(4)为半群，也是独异点，其中Zn={0,1,…,n1}，为模n加法.(5)为半群，也是独异点，其中∘为函数的复合运算.(6)为半群，其中R*为非零实数集合，∘运算定义如下：x,y∈R*,x∘y=y.是T的单位元，T本身可以构成独异点，但不是V2的子独异点，因为V2的单位元是e.例2设半群V1=，独异点V2=.其中·为矩阵乘法，e为2阶单位矩阵,且，则TS，且T是

3、V1=的子半群.定义6.3(1)设V1=，V2=是半群，f:S1→S2.若对任意的x,y∈S1有f(x∘y)=f(x)∗f(y)则称f为半群V1到V2的同态映射，简称同态.(2)设V1=，V2=是独异点，f:S1→S2.若对任意的x,y∈S1有f(x∘y)=f(x)∗f(y)且f(e1)=e2,则称f为独异点V1到V2的同态映射，简称同态.定义6.2设V1=，V2=为半群，则V1×V2=也是半群，且对任意,∈S1×S2有<

4、a,b>·=,称V1×V2为V1和V2的积半群。则f是半群V1=的自同态，但不是独异点V2=的自同态，因为f(e)e.例3设半群V1=，独异点V2=.其中·为矩阵乘法，e为2阶单位矩阵,且令定义6.4设是代数系统，∘为二元运算。如果∘运算是可结合的，存在幺元e∈G，并且对G中的任何元素x，都有x1∈G，则称G为群。实例:(1),,都是群；和不是群.(2)是群，而不是群.(3)是群，

5、为对称差运算.(4)，也是群.Zn={0,1,…,n1}，为模n加Klein四元群设G={e,a,b,c}，G上的运算由下表给出，称为Klein四元群eabceabceabcaecbbceacbae运算表特征：对称性---运算可交换主对角线元素都是幺元---每个元素是自己的逆元a,b,c中任两个元素运算都等于第三个元素.若群G是有穷集，则称G是有限群，否则为无限群。群G中的元素个数称为群G的阶，有限群G的阶。记作

6、G

7、。若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群，也叫作阿贝尔(Abel)群。例：和是无限群是有限群，也是n阶群K

8、lein四元群是4阶群n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群.都是交换群设G是群，x∈G，n∈Z，则x的n次幂xn定义为：实例：在中有23=(21)3=13=111=0在中有(2)3=23=2+2+2=6设G是群，x∈G，使得等式xk=e成立的最小正整数k称为x的阶（或周期），记作

9、x

10、=k，称x为k阶元。若不存在这样的正整数k，则称x为无限阶元。实例：在中，2和4是3阶元，3是2阶元，1和5是6阶元0是1阶元在中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.定理6.1设G为群,则G中的幂运算满足：(1)x∈

11、G，(x1)1=x.(2)x,y∈G，(xy)1=y1x1.(3)x∈G，xnxm=xn+m，n,m∈Z.(4)x∈G，(xn)m=xnm，n,m∈Z.(5)若G为交换群，则(xy)n=xnyn.证：略定理6.2G为群，a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有唯一解.证：a1b代入方程左边的x得a(a1b)=(aa1)b=eb=b所以a1b是该方程的解.下面证明唯一性.假设c是方程ax=b的解，必有ac=b，从而有c=ec=(a1a)c=a1(ac)=a