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1、§3.6环的特征与素域(3.6ExpansionofRing)当我们在研究环和域的性质时,特征数是其一个重要性质.特征数不同的环和域在结构上有很大的不同.本节首先介绍环和域的特征数,然后介绍素域及其性质和判别.3.6.1环的特征数Def:设(R,+,·)是一个环,若存在自然数n,对a∈R,有na=0,则称具有这种性质的最小自然数为R的特征数.若这种n不存在,则称R的特征数为0.易知,若R有单位元e,则其特征数n是使ne=0的最小自然数.例1:Z/的特征数是n,而Z的特征数是0.例2:域的特征数只能为0或素数p.D
2、ef:设F是域,则由F的单位元e生成的F的最小子域P称为素域.命题:设F是域,P是F的素域,则当F的特征数为p=0时,P有理数域Q; 当F的特征数p≠0时,PZ/
.证明:考虑映射:Z→F,(n)=ne,n∈Z,则是环的同态,即Z~F.若F的特征数是p=0,则P包含一个与Z同构的子环(Z),从而P与Z的分式域Q同构,即PQ.若F的特征数为p≠0,则p是一个素数(例3.9.4),从而P包含一个与Z/
同构的子域,故PZ/
.这样,我们得到任一域的构造:设P是F的素域,∈F,若是P上的超越元包含在P关于
3、的超越扩张中;是代数元包含在P关于的代数扩张中.从而,F可以由P经一系列的超越扩张或代数扩张得到.3.9.3域F上的多项式的根,分裂域(RootsofPolynomialonFieldF,PartitionField)Def:设F是域,f(x)∈F[x],degf(x)=n,a∈F,若(x-a)k
4、f(x),(x-a)k+1f(x)则称a是f(x)的k重根.Th2:对F[x]中的每一个次数1的多项式f(x),存在域F的扩域K,使f(x)在K中至少有一个根.证明:设f1(x)是f(x)的一个次数1的不可约因子,则K=F[x]
5、/是F的扩域,且对K中的=x+,有f1()==0,从而是f1(x)的根,也是f(x)的根.将证明中的推导继续做下去,如果f(x)作为K[x]中的多项式仍有次数1的不可约因子,我们可将K再进行扩张.如此下去,经有限次扩张后必得F的一个扩域E,使f(x)在E[x]中可以分解为一次因子的积:f(x)=a0(x-a1)(x-a2)…(x-an)这样,a1,a2,…an便是f(x)的n个根,其中degf(x)=n,于是我们有推论:对F[x]中的任何次数为n(n≥1)的多项式f(x),必有F的一个扩域E,使f(x)
6、在E中恰有n个根(等价于代数基本定理).Def:设f(x)∈F[x],degf(x)=n1,E是F的一个扩域,且满足1°f(x)在E中恰好有n个根a1,a2,…,an(重根按重数计);2°E是包含F及a1,a2,…,an的最小扩域(或F添加a1,a2,…,an得到).则称E为f(x)的在F上的分裂域(splittingfield)或根域(rootfield).进一步可以证明:在同构的意义下,f(x)的分裂域是唯一的.例4:设R是实数域,则复数域C是x2+1∈F[x]的分裂域.对有理数域Q,x2-3∈Q[x],但实数域R不是它的分裂域,而
7、是.§3.10有限域(3.10LimitField)Def:如果域F的元素个数是有限的,
8、F
9、=n,则称F为有限域,也称Galois域,记作F=GF(n).有限域在计算机科学,通讯理论和组合理论等方面有很多应用.由于它的元素个数有限,因而它的结构比较清楚.本节讨论有限域的结构,得到有限域的一些常用结果.命题1:有限域的特征数为素数p.证明:从例3.9.4知,域F的特征数只能为0或素数p,但F为有限域,故其特征数不能为0,从而是素数p.命题2:设F是特征数为p≠0的域,则:F→F,(a)=ap是单同态.证明:先证是同态,即保运算:
10、(a+b)=(a)+(b),(ab)=(a)(b),由于F中乘法的可换性,a,b∈F,(a+b)p=注意到,当k小于p时,(p,k!)=1,(p,(p-k)!)=1,从而p是的因子，故 ,从而(a+b)p=ap+bp.∴(a+b)=(a+b)p=ap+bp=(a)+(b)(ab)=(ab)p=apbp=(a)(b)从而是同态．设(a)=0,则(a)=ap=0,由于域中没有零因子,故a=0,是单射．故:F→F,(a)=ap是单同态.Th1:设F是任一域,G是F的非零元素乘法群的一个有限子群,
11、则G是循环群.证明:设
12、G
13、=q,m是Ｇ中元素阶的最大值,只需证m=q即可.设O(a)=m,任取b∈G,设O(b)=n,则n是m的因子.事实上,设d=(m,n),若d≠n,则d
