域的特征素域1

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1、第七章多项式有限域1§7.1域的特征素域7.1.1域的特征7.1.2素域2§7.1.1域的特征设F是一个域，e是F的壹，作映射：σ：n→ne，nI。则：1)σ是整数环I到F内的映射。因为eF，所以neF，故σ(I)F。2)σ是整数环I到F内的同态映射。因为：σ(m+n)=(m+n)e=me+ne=σ(m)+σ(n)，σ(mn)=(mn)e=(me)(ne)=σ(m)σ(n)。3设N是σ的核，则N是I的理想。从加法角度看N是I的子群，而I在加法下是循环群，由循环群的子群是循环群知，N是由某一元素生成的，设为p，则N={np

2、nI}=pI可设p≥0，p称为F的特征。由N是σ的核知，

3、对nN，σ(n)=0F。特别地，ppI=N，故σ(p)=pe=0F。设n为乘法单位元e在加法下的周期。下面证明n=p，即p是乘法单位元e在加法下的周期。§7.1.1域的特征41)当p=0时，N=pI={0}。故σ(n)=ne=0FiffnNiffn=0=p。即，e在F的加法群里面的周期是∞。2)当p>0时，σ(n)=ne=0FiffnNiffn=pk，kIiffp

4、n再由σ(p)=pe=0F，知n

5、p。因此，n=p。这就是说，e在F的加法群里面的周期是p。§7.1.1域的特征5域F的特征p或等于0或是一个质数。证明：只需证若F的特征p≠0，则p一定为质数。用反证法。设p不是质

6、数，则p=hk，1

7、n∈I}，则I’为环，I～I’，且同态核N=pI。故，I∕pII’。7若F的特征p为质数，往证F包含RP为其最小子域。因p为质数，所以

8、I/pI=RP是一个域。由I∕pII’，知I'是域，因此是F的子域。任取F的子域F’，则F’必然包含e及其任意整数倍，即，必然包含I'，所以I'是F的最小子域。即，F包含和Rp同构的I'为其最小子域。定理7.1.28现在用1代表F的壹：e=1，用整数n代表ne。特征是质数p时，modp合同的整数代表F的同一个元素，Rp的元素写作0，1，…，p-1，则抽象地看，Rp与I'一样。这样，特征为p的域便包含Rp为其最小子域。定理7.1.29若F的特征p为0，往证F包含R0为其最小子域。由p=0，知σ的核pI=0I={0}，所以I/pI={,{-1},{0},{1},}，显然I/pII，而

9、I/pII’，故I’I。I’还不是一个域，故扩充σ:,(n≠0)往证σ为有理域R0到F内的一个同态映射。定理7.1.210先证σ为有理域R0到F内的一个映射。若h/k=m/n，则hn=km，因此，(hn)e=(km)e，即(he)(ne)=(ke)(me)，因k0，n0，F的特征p为0，所以ke0F，ne0F，故，he/ke=me/ne，这就是说，由σ所规定的m/n的映象由m/n唯一确定，而与这个有理数的表示方法无关。定理7.1.211再证σ为同态映射。因此若令，则R0R0’定理7.1.212证σ是R0到其映象R0’的同构映射，故R0’是域，因此是F的子域。证法一：R0是一

10、个域而σ不是把它的所有元素映到0，所以，由教材233页习题6.7-1，R0R0’。证法二：再证明σ是1-1映射即可。因σ是R0到R0’上的映射，只需证若h/km/n，则he/keme/ne。反证。设h/km/n，而he/ke=me/ne。则(he)(ne)=(ke)(me)，故，(hn)e=(km)e，即(hn)e-(km)e=0F，亦即(hn-km)e=0F，由F的特征p为0，知hn-km=0F，所以hn=km，h/k=m/n，与h/km/n，矛盾。定理7.1.213F的任意子域要包含e，e的整数倍及其商，即包含R0’，所以，F包含和R0同构的R0’为其最小子域。现在用1代表

11、F的壹：e=1，用整数n代表ne。用有理数m/n代表me/ne。这样，抽象地看，R0’与R0一样。特征为0的域便包含有理域R0为其最小子域。证毕。RP称为最小域或素域，其中，p为0或质数。例：实数域、复数域以R0为其最小子域。定理7.1.2140’IF15设n是任意整数，a∈F，若用1代表F的壹：e=1，用整数n代表ne，则na有两种意思：1)可以看作是a的n倍，2)可以看作是F中两个元素的乘积。结果都等于(ne)a。结论1：p是质