《域的特征素域》PPT课件

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1、第七章多项式有限域群环域的关系域整区体半群群交换群环交换环无零因子环含壹环§7.1域的特征素域7.1.1域的特征7.1.2素域例子：剩余类环I/pI,为域当且仅当p为质数。分析I/pI={,,…,}，若I/pI为域，则有域为体知，无零因子。当p不是质数时p=st,1s,tp，知==，即它们是零因子，矛盾。反之，若要证明I/pI为域，只要其中任意非零元素有乘法逆即可。已知p为质数，对任意的I/pI,有p为质数知与a互质，因此有整数的知识我们能够知道存在整数s,t使as+pt=1，得到===因此为的乘

2、法逆元。7.1.1域的特征定义7.1.1域(F,+,·)中非零元素关于+运算的周期称为域F的特征。例模7的整数环（Z7,+,·)是域。Z7={0,1,2,3,4,5,6},该域的特征为7，如1+1+1+1+1+1+1=7(mod7)=0,3+3+3+3+3+3+3=21（mod7)=0。模8的整数环(Z8,+,·)是域吗？为什么？我们可以证明整数环(Zp,+,·)在p为质数时是域，它们是最为重要的有限域，域的周期与域的元素个数相等均为p。那么是否有元素个数不是质数的有限域呢？答案是肯定的，我们将在第6节

3、详细讲解。定理7.1.1域的特征p或为质数或为0证明分析,由域的定义知,域显然是一个消去环,我们回顾一下上一章环中性质6.6.14直接得到结论.这里的证明只不过是把任意不为0的a换成了e,证明过程一样.只需证若F的特征p≠0,则p一定为质数。用反证法。设p不是质数，则p=hk，1

4、；当F的特征为0时，F包含一个与有理域Q同构的子域。设F是一个域，е是F的壹，0’为F中的零,作映射：σ：n→ne，nI。则：(1)σ是整数环I到F内的映射。因为eF，2e=e+eF，…，neF，故σ(I)F。σ(I)={…,-2e,-e,0’,e,2e,…}(2)σ是整数环I到F内的同态映射。因为σ(m+n)=(m+n)e=me+ne=σ(m)+σ(n)，σ(mn)=(mn)e=(me)(ne)=σ(m)σ(n)。设N是σ的核，则N是I的理想。当质数p为F的特征，则N={np

5、nI}=pI

6、。此时I的同态象σ(I)={0’,e,2e,…,(p-1)e}F。根据环同态基本定理6.7.5,商环I/N=I/pI=Rp同构于I’=σ(I)，而商环Rp在p为质数时是一个域，因此F包含一个与模p的剩余类环（域）同构的子域I’。因F的任意子域必然包含e及其任意整数倍，就是说，必然包含I’，所以I’是F的最小子域。即，F包含和Rp同构的I’为其最小子域。若F的特征p为0由于σ的核0I只含0，所以I′和I=I/pI同构。I′还不是一个域,故扩充σ:(n≠0)往证σ为有理域R0到F内的一个同态映射。（1）先

7、证σ为有理域R0到F内的一个单射。若h/k=m/n，则hn=km，因此，(he)(ne)=(ke)(me)，故，he/ke=me/ne，这就是说，由σ所规定的m/n的映象由m/n唯一确定，而与这个有理数的表示方法无关。即σ是单射。再证σ为同态映射。R0是一个域而σ不是把它的所有元素映到0’，所以，σ是R0到其映象的同构映射。F的任意子域要包含e,e的整数倍及其逆,即包含,所以,F包含和R0同构的为其最小子域。现在用1代表F的壹：e=1，用整数n代表ne。在特征0的情况下，用有理数m/n代表me/ne。这

8、样，特征为0的域便包含有理域R0为其最小子域。特征是质数p时，modp合同的整数代表F的同一个元素，Rp的元素写作0,1，…，p-1。这样，特征为p的域便包含Rp为其最小子域。证毕。RP称为最小域或素域，其中，p为0或质数。0`IF设n是任意整数，a∈F，na有两种意思，(1)可以看作是a的n倍，(2)可以看作是F中两个元素的乘积。结果都等于（ne）a。结论1：p是质数时，任意非零元素在F的加法群中的周期等于p；p=0时，任意非零元素在F的加法群中的周期等于∞。结论2：设F的特征是质数p，则（a+b）p

9、=ap+bp证明：由二项式定理，系数都是整数。除了两端的ap和bp，中间各项的系数中r都小于p，所以分子上的p不可能在约分中消掉，因而中间各项的系数是p的倍数。因此（a+b）p=ap+bp结论3设F的特征是质数p,则(a-b)p=ap-bp证明：令c=a-b。由结论2，ap=（c+b）p=cp+bp=（a-b）p+bp，从而（a-b）p=ap-bp结论4设F的特征是质数p，则结论5设F的特征是质数p，则结论6设F的特征是质数p，n不是p的倍