§7.1域的特征素域(离散数学)

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1、第七章多项式有限域§7.1域的特征素域7.1.1域的特征7.1.2素域7.1.1域的特征设F是一个域，е是F的壹，作映射：σ：n→ne，nI。则：(1)σ是整数环I到F内的映射。因为eF，所以neF，故σ(I)F。(2)σ是整数环I到F内的同态映射。因为σ(m+n)=(m+n)e=me+ne=σ(m)+σ(n)，σ(mn)=(mn)e=(me)(ne)=σ(m)σ(n)。设N是σ的核，则N是I的理想。从加法角度看N是I的子群，而I在加法下是循环群，由循环群的子群是循环群知，N是由某一元素生成的，设为p，则N={np

2、nI}=pI

3、。可设p≥0，p称为F的特征。由N是σ的核知，对nN，σ（n）=0F。特别地，ppI=N，故σ(p)=pe=0F。设n为乘法单位元e在加法下的周期.下面证明n=p，即p是乘法单位元e在加法下的周期。(1)当p=0时，N=pI={0}。故σ(n)=ne=0FiffnNiffn=0=p。即，e在F的加法群里面的周期是∞。(2)当p>0时，σ（n）=ne=0FiffnNiffn=pk，kIiffp

4、n再由σ(p)=pe=0F，知n

5、p。因此，n=p。这就是说，e在F的加法群里面的周期是p。域F的特征p或等于0或是一个质数。证明：只需

6、证若F的特征p≠0,则p一定为质数。用反证法。设p不是质数，则p=hk，1

7、n∈I}，则I’为环，I～I’，

8、且同态核N=pI。故，I∕PII’。若F的特征p为质数，往证F包含RP为其最小子域。因p为质数，所以I/PI=RP是一个域。由I∕PII’，知I′是域，因此是F的子域。任取F的子域F’，则F’必然包含e及其任意整数倍，即，必然包含I′，所以I′是F的最小子域。即，F包含和Rp同构的I′为其最小子域。现在用1代表F的壹：e=1，用整数n代表ne。特征是质数p时，modp合同的整数代表F的同一个元素，Rp的元素写作0,1，…，p-1，则抽象地看，Rp与I′一样。这样，特征为p的域便包含Rp为其最小子域。若F的特征p为0，往证F包含R0为其

9、最小子域。由p=0，知σ的核pI=0I={0}，所以I/pI={,{-1},{0},{1},}，显然I/pII，而I/pII’，故I′I。I′还不是一个域,故扩充σ:(n≠0)往证σ为有理域R0到F内的一个同态映射。先证σ为有理域R0到F内的一个映射。若h/k=m/n，则hn=km，因此，(hn)e=(km)e，即(he)(ne)=(ke)(me)，因k0,n0,F的特征p为0，所以ke0F，ne0F，故，he/ke=me/ne，这就是说，由σ所规定的m/n的映象由m/n唯一确定，而与这个有理数的表示方法无关。再证σ为同

10、态映射。因此若令，则R0R0’证σ是R0到其映象R0’的同构映射，故R0’是域，因此是F’的子域。证法一：R0是一个域而σ不是把它的所有元素映到0，所以，由教材233页习题6.7-1，R0R0’。证法二：再证明σ是1-1映射即可。因σ是R0到R0’上的映射，只需证若h/km/n，则he/keme/ne。反证。设h/km/n，而he/ke=me/ne。则(he)(ne)=(ke)(me)，故，(hn)e=(km)e，即(hn)e-(km)e=0F，亦即(hn-km)e=0F，由F的特征p为0，知hn-km=0F，所以hn=km，h

11、/k=m/n，与h/km/n矛盾。F的任意子域要包含e,e的整数倍及其商,即包含R0’,所以,F包含和R0同构的R0’为其最小子域。现在用1代表F的壹：e=1，用整数n代表ne。用有理数m/n代表me/ne。这样，抽象地看，R0’与R0一样。特征为0的域便包含有理域R0为其最小子域。证毕。RP称为最小域或素域，其中，p为0或质数。例.实数域、复数域以R0为其最小子域。设n是任意整数，a∈F，若用1代表F的壹：e=1，用整数n代表ne，则na有两种意思，(1)可以看作是a的n倍，(2)可以看作是F中两个元素的乘积。结果都等于（ne）a。结

12、论1：p是质数时，任意非零元素在F的加法群中的周期等于p；p=0时，任意非零元素在F的加法群中的周期等于∞。结论2：设F的特征是质数p，则（a+b）p=ap+bp证明：由二项式定理，系数都是整