带有非局部边界条件的dirac算子的迹论文

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1、摘要记可＝（小＝（二Ｐ（ｚ）＝ｆ—＼０（ｐ茹）。一ｒ（ｚ）／方程Ｂ瑟＋Ｐ＠挎＝Ａ可称为一维Ｄｉｒａｃ方程．本文研究了它带有非局部边界的特征值问题的迹公式．其边界条件如下：１：ｙ２（０）＝ｏ，ｙ２Ｑｒ）＝正ｙ２（ｘ）＃（ｘ）ｄｘ２：ｗ（ｏ）＝ｆｆｗ（ｚ）ｐ。（ｚ）ｄｘ，抛（丌）＝ｆ耽（ｚ）ｐ－（ｚ）如首先利用Ｄｉｒａｃ方程初值问题解的渐近估计，构造了一个整函数ｕ（Ａ），其零点集合与带有非局部边界条件的Ｄｉｒａｃ特征值问题的特征值集重合．然后借助于一个恒等式：Ａｔ器一黼，＝－－Ｉｎ器＋鼬ｎ端，，采用留数方法，对Ｄｉｒａｃ算子的特征值进行了估计，得到了两个边值问题的

2、特征值的渐近迹公式．关键词：Ｄｉｒａｃ算子；非局部边界；特征值；留数方法；渐近迹１Ａｂｓｔｒａｃｔ可＝（：），Ｂ＝０。：），Ｐｃｚ，＝（一：ｚ）一：ｚ，）ＴｈｅｅｑｕａｔｉｏｎＢ塞＋雌）笋＝知ｉｓｃａｌｌｅｄｏｎｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＤｉｒａｃｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｔｒａｃｅｓｏｆＩ二ｉｒａｅｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｗｉｔｈｕｎｌｏｃａｌｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｒｅｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ．Ｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎ－ｄｉｔｉｏｎｓａｒｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇ：１：ｙ２（ｏ）＝０，ｙ２

3、（ｕ）＝／ｙ２（ｘ）＃（ｘ）ｄｘＪＯ’＊２：ｖ２（ｏ）。１０ＯＪｘｄ）（ｚｐ２Ｆ／＝）丌（２剪，出）ｚ（。ｐ２ｖ，ⅡＪＯＦｉｒｓｔ，ａｎｅｎｔｉｒｅｆｕｎｃｔｉｏｎｕ（Ａ）ｉｓｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄｂｙｕｓｅｏｆｔｈｅａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｓｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｉｎｉｔｉａ．１ｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｆｏｒＤｉｒａｃｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｚｅｒｏｓｏｆｗ（Ａ）ａｒｅｔｈｅｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓｏｆＤｉｒａｃｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｗｉｔｈｕｎｌｏｃａｌｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｎ，ｂｙｒｅｓ

4、ｏｒｔｉｎｇｔｏｔｈｅｉｄｅｎｔｉｔｙＡ【勰一黼】－－－ｎ端＋知ｎ器，ｕｓｉｎｇｔｈｅｒｅｓｉｄｕｅｍｅｔｈｏｄ，ｗｅｅｓｔｉｍａｔｅｔｈｅＤｉｒａｃｏｐｅｒａｔｏｒｅｉｇｅｎｖａｌｕｅａｎｄｏｂｔａｉｎｔｈｅｅｉｇｅｎ－ｖａｌｕｅ’Ｓａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｔｒａｃｅｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓｏｆｔｗｏｂｏｕｎｄａｒｙｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：，Ｄｉｒａｃｏｐｅｒａｔｏｒ；ｕｎｌｏｃａｌｂｏｕｎｄａｒｙ；ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ；ｒｅｓｉｄｕｅｔｒａｃｅｍｅｔｈｏｄ；ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ§１．引言常微分算子是在Ｆｏｕｒｉｅｒ方法、Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ理论

5、与Ｈｉｌｂｅｒｔ空间无界算子理论｛１２ｔ的基础上发展起来的一门数学分支，无论从纯数学还是从应用数学的角度都是十分重要的，是近代量子力学、数学物理及工程技术的重要数学工具之一．微分算子的特征值的迹恒等式深刻揭示了微分算子的谱结构，在特征值的计算及其反问题以及孤子理论和可积系统理论中【３，４，１１１都有很重要的作用．然而和矩阵一样，微分算子的单个特征值比较难求．但在矩阵理论中，我们知道：全体持征值的对称函数可以用矩阵的元素直接表出．比如，特征值之和￡～等于矩阵的对角线元素之和∑ａｊ，（即矩阵的迹）．那么微分算子的全体特征值的对称函数是否也可用算子量直接表出呢？最简单的

6、对称函数是∑～，不过由于微分算子的无界性，它是发散的。一个自然的想法是将它正则化，即从每项减去发散部分，看是否能用算子量表出其和．Ｉ．Ｍ．Ｇｅｌｆａｎｄ和Ｂ．Ｍ．Ｌｅｖｉｔａｎ在１９５３年获得了以下Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ问题【５】的迹公式：一Ｙ”＋ｑ０）ｓ，＝Ｘｙ，Ｙ３（０）＝Ｙ’（７ｒ）＝０随后，关于迹公式的研究出现了一系列论文【６，７１待别是在１９８１年曹策问教授提出了一个计算常型二阶微分算子特征值迹公式的一个普遍性的方法【８１，而且计算出了特征值的幂的正则迹公式．目前，关于Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子的迹的研究，已积累了大量文献，不过大多结果都

7、是对局部方程局部边界条件而得到的．１９８０年Ｌ．Ｂ．Ｂａｇａｃｈｅｖ首次考察了非定局边界条件，对下列问题得到了迹公式：ｌ一掣”＋ｑ（ｚ）剪＝Ａ可，Ｉ可（ｏ）＝Ｊ：；ｒｙ（ｘ）ｐ（ｘ）ｄｘ，Ⅳ（７ｒ）＝ｏ；Ｊ—Ｙ”＋ｑ（ｘ）ｙ＝Ａ可，ＩⅣ（ｏ）＝Ｊ：；ｒｙ（ｘ）＃ｏ（ｘ）ｄｘ，ｇ（Ⅱ）＝届Ｆ（ｚ）卢。（ｘ）ｄｚ．曼ｃＡｎ－－ｎ２－－；ｆ咖，ｄｘ，＝掣一去ｆ舡）ｄｘ他用的是概率方法，对ｍ（ｚ沁＝０，丌）作了非负且积分为１的假设，而且迹的公式算得不彻底，对于第二个问题没有给出使迹收敛的正则项．１９８１年，李梦如教授用Ｉｓ】的方法重新获得了上述问题的迹公式【９１，而且计

8、算出了正则