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1、第14卷第3期应用力学学报Vol.14No.31997年9月CHINESEJOURNALOFAPPLIEDMECHANICSSep.1997a关于线性非局部弹性理论的应力边界条件黄再兴(南京航空航天大学南京210016)摘要应力边界条件的提法是线性非局部弹性理论尚未解决的一个理论问题。文中针对这一问题进行了研究,所导出的应力边界条件包含了物体微观结构的长程相互作用,这个结果不仅解释了在裂纹混合边界值问题中非线性局部弹性理论方程的解在常应力边界条件下不存在的问题,而且可以自然地得到裂纹尖端的分子内聚力模型。关键词:非局部弹性理论;局部化残余;应力边界
2、条件1前言线性非局部弹性理论由于考虑了微观粒子间的相互作用,因此有可能架起沟通材料微观结构与其宏观力学性能之间的桥梁。自它建立以来,在断裂,位错以及Rayleigh波的传播等方[1～10]面的研究中已经取得了一系列的成果,例如,由该理论求出的裂纹尖端的应力场就消除了奇异性。但是,另一方面,该理论本身却还存在着一些急待解决的基本问题,其中之一便是应力边界条件的确定。在文献[8,9]中,Atkinson证明了在裂纹混合边界值问题中按(S)tijnj=pi(1)(S)给出的常应力边界条件所确定的线性非局部弹性理论的场方程的解是不存在的。(1)式中tij是
3、对称应力张量,nj是边界面上单位法线的方向余弦,pi是作用在边界上的分布力。显然,这一结论有悖于物理事实,它对理论本身形成了尖锐的挑战,表明理论尚待完善。此后,人们从不同方面对这一问题进行了研究。一种意见认为,为了获得正确的解,应该修改由(1)式所表达的[6,7][7]应力边界条件,如将应力边界条件修改成极限形式(S)alimtijnj=pi(2)E→0式中E是物体微观结构的尺度参数。这种形式的提出是基于线性非局部弹性理论在物体微体微观结构之间的相互作用可忽略时应回归到经典线弹性理论的这一基本要求。另一种意见则[9,10]认为,需要修正的是本构方程
4、中的非局部弹性模量的数学表达式。前一种意见是依据物理直观引入的额外假设;而后一种意见,则需要对未知的微观结构的构型及其它们之间的相互作a来稿日期:1995206209;修回日期:199620421680应用力学学报第14卷用做出分析后才能给出非局部弹性模量,这将会使问题更加复杂。总而言之,如何给定应力边界条件是线性非局部弹性理论尚待解决的一个重要的基本问题。本文对这一问题进行了研究,所得的结果不仅回答了Atkinson所提出的问题,而且可作为裂纹尖端分子内聚力的一个模型。2基本方程及分析文[11]按照非局部场论守恒定律以及理性力学的本构公理严格地推
5、导了均匀的,各向同性的线性非局部弹性理论的基本方程。不考虑惯性和偶应力作用,则这些方程可重新表示如下:动量平衡方程(S)(A)tji,j+tji,j+Qfi=0(3)动量矩平衡方程(A)d∈ijktjk=QJi(4)几何方程1eij=(ui,j+uj,i)(5)2本构方程(S)tij=∫A(ûx′k-xkû,E)(KerrDij+2Leij)dV(x′k)(6)8dQJi=∫Y(ûx′k-xkû,E)(H′i-Hi)dV(x′k)8(7)d∫QJidV(xk)=08这些方程满足如下边界条件:位移边界条件0uiû58=ui(8)1应力边界条件(S)(
6、A)tjinjû582=(tji+tji)njû582=Qi(9)(S)(A)这里581+582=58,表示非局部弹性体的边界面。上述诸式中,tij、tij分别是将Cauchy应d力tij做和分解后所得到的对称与反对称应力,K与L是Lamé常数,Ji是局部化力偶矩残余,积[2～4]分核A(ûx′k-xkû,E)称之为非局部弹性模量,它可以表达成多种不同的形式,典型的如1exp(-ûx′k-xkûöE)A(ûx′k-xkû,E)=2(10)4PEûx′k-xkû式中E=e0Söl,S是材料内部特征尺度(如晶体点阵参数,微观粒子几何半径等),l是外部作
7、用特征尺度(如载荷的波长),e0是材料常数,一般由点阵动力学的计算得到。非局部弹性模量刻划了微观结构长程作用的衰减过程。d在QJi的表示式(7)中,H′i、Hi分别表示点x′i和点xi处的旋转,将H′i-Hi作幂级数展开有:第3期关于线性非局部弹性理论的应力边界条件81H′i-Hi=(x′k-xk)Hi,k+⋯d由于只考虑线性小变形,故可将上面展开式中一次项以上的高阶项略去,于是,QJi的关系式可写成dQJi=Hi,∫k(x′k-xk)Y(ûx′k-xkû,EdV(x′k)(11)8从小变形理论知,Hi可用变形梯度ui,j表示为:1Hi=∈ijku
8、j,k(12)2令Wl=∫(x′k-xk)Y(ûx′k-xkû,E)dV(x′k)8则(11)式可化简成d1QJi=∈ij
