带非局部边界条件的热方程的LEGENDRE配置法

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1、高校应用数学学报2014，29(4)：375—388带非局部边界条件的热方程的LEGENDRE配置法叶兴德，刘飞，程晓良(1．浙江大学数学系，浙江杭州310027；2．华中科技大学数学与统计学院，湖北武汉430074)摘要：对带非局部边界条件的热方程的初边值问题提出了LEGENDRE配置法，并给出其半离散逼近和全离散逼近的稳定性和收敛性分析．数值试验验证了方法的有效性．关键词：LEGENDRE配置法；热方程；非局部边界条件中图分类号：O241文献标识码：A文章编号：1000．4424(2014)04．0375．14§1引言带有非局部边界条件的发展方程初边值问题在最

2、近三十多年中受到了广泛的注意，它们在化学工程，热弹性力学，种群动力学和地下水怜等领域有着广泛的应用(参见f1]及其所附文献)．本文考虑热方程一=，∈：(_111)，0<(1．1)在非局部边界条件l札(一1，t)=／ko(x)u(x，t)dx+qo(t){一0≤tT(1．2)l，“(1，t)=／h(x)u(x，t)dx+ql(t)及初始条件u(x，0)：uo(x)，∈[-1，1】(1．3)下的数值求解问题，其中0，kl，qo，ql~Iuo是己知的函数并且初值条件与边界条件满足相容条件：厂1厂1~o(-1)=／ko(x)uo(x)dx+qo(O)，uo(1)=／kl(

3、x)uo(x)dx+ql(0)．(1．4)这类问题产生于热弹性力学的拟静态理论中([2，3])．问题(1．1)一(1．3)解的存在唯一性及某些解析性质可以在[2，3，4]中找到．对于其数值计算，很多文献(参见[5，6，7，1]及所附文献)考虑收稿日期：2012—05—21修回日期：2014—10—08基金项目：国家自然科学基金(11401235)；中央高校基本科研业务费专项资金(2013QN169)376高校应用数学学报第29卷第4期了差分方法．最近，Golbabai；~IJavidi利用谱配置法来求解热方程f1．1)带有导数项的更一般非局部边界条件的初边值问题，

4、但是他们使用所谓的“局部插值函数”来逼近非局部边界条件，如同Ang在f9]中所做的那样．本文用Legendre~法离散热方程(1．1)，对非局部边界条件(1．2)也用谱方法来逼近．从本文的观点看，用谱方法逼近带有非局部边界条件的问题是最自然地选择，因为谱方法本来就是整体方法．注意到在谱方法的数值分析中，如何处理边界条件一直是研究的主题．Canuto在用谱方法逼近二阶椭圆算子的Neumann或第三边值问题时，提出了一种被称为“边界条件的隐式处理”的方法，而Funaro~IGottlieb在双曲问题中则使用罚方法来处理边界条件．现在要处理的是非局部边界条件，面临新的困

5、难．正如『13]所指出的，从数学上看，这主要是因为带非局部边界条件的椭圆微分算子在通常的函数空间中不再是正定的．本文的分析主要受【6，5】的启发，发现【6，5】的稳定性结果对我们的谱方法依然成立．基于此，给出了谱方法半离散和全离散的收敛性分析．这些结果表明，本文的方法也具有所谓的“谱精度”，虽然还不是最优的．本文结构如下：~2H顾了谱方法的一些基本结果，§3和§4分别建立了问题(1．1)一(1．3)的半离散和全离散的Legengre~置法，并给出稳定性和收敛性分析．§5给出数值试验结果以验证方法的有效性．§2预备知识首先回顾谱方法的一些基本结果，这些可以在[14]

6、中找到．对于任何整数N>0，设表示上次数不超过Ⅳ的代数多项式空间，设()表示n次Legendre多项式．Ⅳ+1个节点的Legendre-Gauss-Lobatto求积公式为p1N√／f(x)dx=∑l厂()，V，∈7)2Ⅳ_1．(2．1)一1j=o~Legendre—GaussLObatto求积公式的节点{)J：0，1，⋯，Ⅳ是多项式(1一X2)L()的按从左到右方式排序的Ⅳ+1个零点，权，J=0，1，⋯，Ⅳ为‘，J)1j⋯‘在后面将选择{)J：o，1，⋯，Ⅳ为配置点．本文将用c表示一般的正常数，在不同的地方表示的值可以不同但都与Ⅳ无关．L2()空间的内积(札，u

7、)=删dz与范数ll“Il0=(it2dx)／。的离散逼近分别为(，)Ⅳ=：u()()，(2．2)j=o札IIⅣ=(it，)(2．3)下面关系成立(参看『14](5．3．2))：lI~11ocIulIⅣ~／3II~llo，Vu∈PⅣ．(2．4)对于任何连续函数，引入其插值函数／NU∈，它以Ⅳ+l~Legendre—Gauss—Lobatto求积公式节点{％)J：0，1，⋯，Ⅳ为插值节点．由【14]55．4．3，有下述结果：对钆∈H()，rn1，llu—INl1cN一lu11，jc=0，1．(2．5)Ilit—INitl2cN一llitll，(2．6)叶兴德等：带非

8、局部边界条