高考数学复习点拨 解读点、线、面间的位置关系

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1、解读点、线、面间的位置关系　　一、知识点精析　　1、平面的概念　　（1）“平面”是一个只描述而不定义的最基本的概念，它与点、线一样，都是从实际生活中抽象出来的数学概念．　　（2）平面的无限延展性　　平面内包含着无数条直线，而直线是可以无限延伸的，因此平面也必然具有无限延展的性质．日常接触到的很多平面的实例都只是平面的一部分，用平行四边形来表示平面，也只能画出平面的一部分．　　2．平面的基本性质　　（1）“有且只有一个”的含义：　　“有”说明图形是存在的，“只有一个”说明图形是唯一的．数学中的“只有一个”并不保证符合条件的图形一定存在，所以不能用“只有一个”来代替“有且只有一个”，符合某一条

2、件的图形既存在，而且只能有一个，就说明这个图形完全是确定的，因此“有且只有一个”和“确定”是同义词．　　（2）公理1是判定直线在平面内或点在平面内的工具．　　例如：、，又如，．　　（3）公理2给出了确定两个相交平面的交线的方法．根据公理2要找到两个平面的交线，只要找出它们的两个公共点，经过这两点的直线就是它们的交线，同时公理2还可以用来证明点在直线上，即如果，且，则，进而可证明三点共线．　　（４）公理3及其推论是确定平面和判定平面重要的依据．　　在立体几何中，常常需将空间图形问题转化为平面图形的问题，进而利用平面几何知识来求解，因此要确定诸元素是否在同一个平面内，而公理3及其推论正是起着确

3、定平面的作用．　　3．两条直线的位置关系　　（1）两条直线的三种位置关系：　　a．相交：共面，有且只有一个公共点．　　b．平行：共面，没有公共点．　　c．异面：不同在任何一个平面内，没有公共点．　　（2）异面直线的判定方法：　　a．定义：不同在任何一个平面内的两条直线，称为异面直线．　　b．判定定理：若，，，，则直线和是异面直线．　　（3）公理4（平行公理）、等角定理及推论公理4是论证平行问题的主要根据，也是确定平面的基础．等角定理及其推论是证明空间两角相等的重要理论依据．　　（4）异面直线所成的角的概念及其取值范围　　a．异面直线所成的角的定义中，异面直线a和b所成的角和与所成的锐角（或

4、直角）相等，但与点的位置无关，因此在解具体问题时，可将点取在a或b上，或者取几何体中具有特殊性的点．　　b．要明确过空间一点，引直线a的平行线的方法和依据．因为，所以点O和a确定一个平面，在面内过点作，作．　　c．两条异面直线互相垂直，它们所成的角为90°，今后再说两条直线互相垂直，它们可能相交，也可能异面．　　d．异面直线所成的角的范围是　　二、典例解析　　例1　已知四边形中，，所在直线分别与平面交于点，求证：必共线．　　证明：如图1，∵，∴共面．　　设确定平面，　　∵点分别在直线上，　　∴都在内，　　又∵点在平面内，　　∴点在和的交线上，即共线．　　说明：要证明多点共线，只需证这些点同

5、在两个相交平面的交线上，这是证点共线的常用方法之一，其理论依据是公理2．　　例2　已知：正方体中，分别是棱的中点，求异面直线与所成角的大小．　　解：如图2，分别连结，．　　∵分别是的中点，∴．　　又∵在正方体中，，∴．∴．　　∴的大小即为所求，连结，∵为正三角形，　　∴，故与所成角为60°．　　说明：求异面直线所成的角的问题，关键是抓住平移，将三维空间两直线所成的角的问题转化为二维平面两相交直线所成角问题来研究．　　三、应注意的几个问题　　1．注意公理的复习　　公理是人们经过长期观察与实践总结出来的，因此我们在学习公理时，要对图形进行认真的观察并动手进行验证；同时公理是几何推理的基本依据，

6、也是我们进一步学习和研究空间图形的基础，所以我们不但要熟记公理的内容，还要知道每个公理的用途和如何用．例如，公理1是用来判断直线是否在平面内的依据，如果要判断一直线在平面内，就要想办法在直线l上找出不重合的两点，证明两点均在平面内．　　在这里提醒同学们注意，公理3是确定一个平面的依据，我们对公理3进一步探究发现，“两条相交直线可以确定一个平面”、“两条平行线可以确定一个平面”、“一条直线和直线外一点可以确定一个平面”这些推论都可以作为确定一个平面的依据，而且应用很广．　　2．注意数学语言和图形语言的复习　　数学语言我们并不陌生，在集合中我们学习过很多．学好立体几何的数学语言，能使立体几何语

7、言的表达方法简明扼要、清楚明白、符合逻辑；在这里提醒同学们注意：①点在立体几何中永远是元素，直线和平面均是集合，因此，有，，或，，；②直线与平面相交记作，它是的简记并没错误．　　图形语言的学习就是如何快速准确地作出空间图形的学习．空间图形是画在一个平面内的，因此识图和画图的技巧就十分重要．如何根据题目的条件画出图形，需要用实物模型参考，更需要多观察、多比较、多分析，逐步积累一些画法技巧，同时要注意图形的合理性、美观性和直