高考一轮数学复习 84直线与圆锥曲线的位置关系 理 同步练习（名师解析）

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1、第8章第4节知能训练·提升考点一：交点问题1．直线kx－y＋k＋1＝0与椭圆＋＝1公共点的个数为(　　)A．0　　　　　　　　　B．1C．2D．随k值而改变解析：由题意知，直线可化为y－1＝k(x＋1)，故直线过定点(－1,1)，而(－1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆必相交．答案：C2．直线y＝2k与曲线9k2x2＋y2＝18k2

2、x

3、(k∈R，且k≠0)的公共点的个数为(　　)A．1B．2C．3D．4解析：由得(

4、x

5、－1)2＝，∴

6、x

7、＝1±.∴x＝1＋或1－或－1－或－1＋，因此直线与曲线公共点个数为4.故选D.答案：D3．有且只

8、有一个公共点是直线和抛物线相切的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件解析：当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个公共点，但直线与抛物线不相切，故有且只有一个公共点是直线和抛物线相切的必要非充分条件．答案：C考点二：弦长问题4．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则

9、AB

10、的最大值为(　　)A．2B.C.D.解析：设直线l的方程为y＝x＋t，联立椭圆方程消y得5x2＋8tx＋4t2－4＝0.弦长

11、AB

12、＝·≤.答案：C5．设直线l过双曲线x2－＝1的一个焦点，交

13、双曲线于A，B两点，O为坐标原点，若·＝0，求

14、AB

15、的值．解：不妨设直线AB过右焦点F(2,0)，其斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－2)．代入双曲线方程，得3x2－k2(x－2)2＝3，即(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，从而y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝k2·(－＋4)＝－.∵·＝0，∴OA⊥OB，∴·＝－1即x1x2＋y1y2＝0∴－＝0，解得k2＝.此时Δ＝16k2＋4(3－k2)(4k2＋3)

16、＞0，又当AB⊥x轴时，点A(2,3)，B(2，－3)不满足条件．故由焦点弦长公式，得

17、AB

18、＝＝＝4.6．(·黄冈模拟)设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若

19、AB

20、＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么A、B的坐标是方程组的解．由ax＋by＝1，ax＋by＝1，两式相减，得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0，因为＝－1，所以＝，即＝，＝＝，所以b＝a①再由方程组消去y得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，由

21、AB

22、＝

23、＝＝[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2.得(x1＋x2)2－4x1x2＝4，即()2－4·＝4②由①、②解得a＝，b＝，故所求的椭圆的方程为＋＝1.考点三：直线与圆锥曲线综合问题7．(·石家庄质检一)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，它的一条准线方程为x＝2.(1)求椭圆C的方程；(2)若点A，B为椭圆上的两个动点，椭圆的中心到直线AB的距离为，求∠AOB的大小．解：(1)由题意知＝，＝2∴a＝，c＝1，故a2＝2，b2＝1∴椭圆方程为＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)B(x2，y2)，设直线AB的方程为x＝±或y＝kx＋

24、b当直线AB的方程为x＝时，由可求A(，)，B(，－)从而·＝O，可得∠AOB＝.同理可知当直线AB的方程为x＝－时和椭圆交得两点A，B.可得∠AOB＝当直线AB的方程为y＝kx＋b由原点到直线的距离为，得＝即1＋k2＝b2.又由消去y得：(1＋2k2)x2＋4kbx＋2b2－2＝0∴x1＋x2＝－，x1x2＝∴y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)，＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝.∴·＝x1x2＋y1y2＝＋＝将1＋k2＝b2代入上式得·＝0，所以∠AOB＝90°8．如图，倾斜角为α的直线经过抛物线y2＝8x的焦点F，且与

25、抛物线交于A、B两点．(1)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；(2)若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明：

26、FP

27、－

28、FP

29、cos2α为定值，并求此定值．解：(1)设抛物线的标准方程为y2＝2px，则2p＝8，从而p＝4.因此焦点F(，0)的坐标为(2,0)，又准线方程的一般式为x＝－.从而所求准线l的方程为x＝－2.(2)解法一：如图作AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C、D，则由抛物线的定义知

30、FA

31、＝

32、AC

33、，

34、FB

35、＝

36、BD

37、.记A、B的横坐标分别为xA、xB，则

38、FA

39、＝

40、AC

41、＝xA＋＝

42、FA

43、cosα＋＋

44、＝

45、FA

46、cosα＋4，解得

47、FA

48、＝，类似地有

49、FB

50、＝4－

51、FB

52、cosα，解得

53、FB

54、＝.记直线m与AB的交点为E，则

55、FE

56、＝

57、FA

58、－

59、AE

60、＝

61、FA

62、－＝(

63、FA

64、－

65、FB

66、)＝(－)＝.所以

67、