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《高考一轮数学复习 52平面向量的数量积 理 同步练习(名师解析)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第5章第2节知能训练·提升考点一:向量的数量积运算1.(·崇文检测)设a、b、c是三个向量,以下命题中真命题的序号是________.①若a·b=a·c,且a≠0,则b=c;②若a·b=0,则a=0或b=0;③若a、b、c互不共线,则(a·b)·c=a·(b·c);④(3a+2b)·(3a-2b)=9
2、a
3、2-4
4、b
5、2.答案:④2.若向量a、b、c满足a+b+c=0,且
6、a
7、=3,
8、b
9、=1,
10、c
11、=4,则a·b+b·c+c·a=________.解析:解法一:由已知得
12、c
13、=
14、a
15、+
16、b
17、,c=-a-b,故向量a与b同向
18、,而向量c与它们的和反向.所以有a·b+b·c+c·a=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13.解法二:∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a),∴a·b+b·c+c·a===-13.答案:-13考点二:向量的模3.(·台州模拟)已知向量a、b的夹角为1
19、a
20、=1,
21、b
22、=5,则
23、3a-b
24、等于( )A.7 B.6C.5D.4解析:∵
25、3a-b
26、2=(3a-b)2=9a2+b2-6a·b=9+25-6×1×5×cos149,∴
27、3a-b
28、=7.
29、答案:A4.(·大连模拟)已知a=y-x,b=2x-y,
30、a
31、=
32、b
33、=1,a·b=0,则
34、x
35、+
36、y
37、等于( )A.7B.2C.5D.+解析:∵a·b=(y-x)·(2x-y)=-
38、y
39、2-2
40、x
41、2+3x·y=0,又∵
42、a
43、2=(y-x)2=
44、y
45、2+
46、x
47、2-2x·y=1,
48、b
49、2=(2x-y)2=4
50、x
51、2-4x·y+
52、y
53、2=1,可得
54、x
55、=,
56、y
57、=,∴
58、x
59、+
60、y
61、=+.答案:D考点三:向量的夹角5.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),
62、c
63、=,若(a+b)·c=,则a与c的夹角( )A.30°B.
64、60°C.1D.150°答案:C6.已知
65、a
66、=4,
67、b
68、=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ;(2)求
69、a+b
70、;(3)=a,=b,作三角形ABC,求△ABC的面积.解:(1)由(2a-3b)·(2a+b)=61,得4
71、a
72、2-4a·b-3
73、b
74、2=61,∵
75、a
76、=4,
77、b
78、=3,代入求得a·b=-6,∴cosθ===-,又θ∈[0°,180°],∴θ=1(2)可先平方转化为向量的数量积..
79、a+b
80、2=(a+b)2=
81、a
82、2+2a·b+
83、b
84、2=42+2×(-6)+32=13,∴
85、a+b
86、=.
87、(3)计算a、b夹角的正弦,再用面积公式求值.由(1)知∠BAC=θ=1
88、
89、=
90、a
91、=4,
92、
93、=
94、b
95、=3,∴S△ABC=
96、
97、·
98、
99、·sin∠BAC=×3×4×sin13.考点四:向量的垂直7.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a、b满足关系
100、ka+b
101、=
102、a-kb
103、(其中k>0).(1)求证:(a+b)⊥(a-b);(2)求将a与b的数量积表示为关于k的函数f(k);(3)求函数f(k)的最小值及取最小值时a与b的夹角θ.解:(1)解法一:由a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sin
104、β),则a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ),a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ),又(a+b)·(a-b)=(cosα+cosβ)·(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)·(sinα-sinβ)=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=1-1=0,∴(a+b)⊥(a-b).解法二:由a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),则(a+b)·(a-b)=a2-b2=
105、a
106、2-
107、b
108、2=1-1=0,∴(a+b)⊥(a-b).(2)a·b=cosαcosβ+sinαsinβ
109、=cos(α-β).解法一:ka+b=(kcosα+cosβ,ksinα+sinβ),a-kb=(cosα-kcosβ,sinα-ksinβ),∴
110、ka+b
111、2=(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2=1+k2+2k(cosαcosβ+sinαsinβ)=1+k2+2kcos(α-β),
112、a-kb
113、2=(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2=1+k2-2k(cosαcosβ+sinαsinβ)=1+k2-2kcos(α-β),由
114、ka+b
115、=
116、a-kb
117、,得1+k2+2kcos(α-β)=3[
118、1+k2-2kcos(α-β)],∴8kcos(α-β)=2(k2+1),又k>0,∴cos(α-β)=,即a·b=(k>0).∴f(k)=(k>0).解法二:∵
119、a
120、==1,
121、b
122、==1.由
123、ka+b
124、2=3
125、a-kb
126、2,得k2
127、a
128、2+2ka·b+
129、b
130、2=3
131、a
132、2-6ka·b+3