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《高考数学一轮复习教案52向量的数量积》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、www.tesoon.com天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！5.2向量的数量积●知识梳理1.数量积的概念：（1）向量的夹角：如下图，已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉.（2）数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量
2、a
3、
4、b
5、cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b=
6、a
7、
8、b
9、cosθ.（3）数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影
10、b
11、cosθ的乘积.2.数量积的性质：设e是单位向量，〈a，e〉=θ.（1）e·a=a·e=
12、
13、a
14、cosθ.（2）当a与b同向时，a·b=
15、a
16、
17、b
18、；当a与b反向时，a·b=－
19、a
20、
21、b
22、，特别地，a·a=
23、a
24、2，或
25、a
26、=.（3）a⊥ba·b=0.（4）cosθ=.（5）
27、a·b
28、≤
29、a
30、
31、b
32、.3.运算律：（1）a·b=b·a；（2）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）；（3）（a+b）·c=a·c+b·c.4.向量数量积的坐标运算：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则（1）a·b=x1x2+y1y2；（2）
33、a
34、=；（3）cos〈a，b〉=；（4）a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0.思考讨论（a·b）c与a（b·c）是否相等
35、?●点击双基1.（2004年全国Ⅰ，3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么
36、a+3b
37、等于A.B.C.D.4解析：
38、a+3b
39、====.答案：C本卷第9页（共9页）www.tesoon.com天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！2.若向量a与b的夹角为60°，
40、b
41、=4，（a+2b）·（a－3b）=－72，则向量a的模是A.2B.4C.6D.12解析：（a+2b）·（a－3b）=
42、a
43、2－
44、a
45、
46、b
47、cos60°－6
48、b
49、2=
50、a
51、2－2
52、a
53、－96=－72，∴
54、a
55、2－2
56、a
57、－24=0.∴（
58、a
59、－6）·（
60、a
61、+4）=0.∴
62、a
63、=
64、6.答案：C3.已知a=（λ，2），b=（－3，5），且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是A.λ＞B.λ≥C.λ＜D.λ≤解析：∵a与b的夹角为钝角，∴cos〈a，b〉＜0.∴a·b＜0.∴－3λ+10＜0.∴λ＞.答案：A4.（2004年上海，6）（理）已知点A（1，－2），若向量与a=（2，3）同向，
65、
66、=2，则点B的坐标为____________.解析：设A点坐标为（xA，yA），B点坐标为（xB，yB）.∵与a同向，∴可设=λa=（2λ，3λ）（λ＞0）.∴
67、
68、==2，∴λ=2.则=（xB－xA，yB－yA）=（4，6），∴∵∴∴B点坐标为（5，4）
69、.答案：（5，4）（文）已知点A（－1，－5）和向量a=（2，3），若=3a，则点B的坐标为____________.解析：设B点坐标为（xB，yB），则=（xB+1，yB+5）=3a=（6，9），∴∴∴B（5，4）.答案：（5，4）●典例剖析【例1】判断下列各命题正确与否：（1）若a≠0，a·b=a·c，则b=c；（2）若a·b=a·c，则b≠c当且仅当a=0时成立；（3）（a·b）c=a（b·c）对任意向量a、b、c都成立；（4）对任一向量a，有a2=
70、a
71、2.本卷第9页（共9页）www.tesoon.com天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！剖析
72、：（1）（2）可由数量积的定义判断.（3）通过计算判断.（4）把a2转化成a·a=
73、a
74、2可判断.解：（1）a·b=a·c，∴
75、a
76、
77、b
78、cosα=
79、a
80、
81、c
82、cosβ（其中α、β分别为a与b，a与c的夹角）.∵
83、a
84、≠0，∴
85、b
86、cosα=
87、c
88、cosβ.∵cosα与cosβ不一定相等，∴
89、b
90、与
91、c
92、不一定相等.∴b与c也不一定相等.∴（1）不正确.（2）若a·b=a·c，则
93、a
94、
95、b
96、cosα=
97、a
98、
99、c
100、cosβ（α、β为a与b，a与c的夹角）.∴
101、a
102、（
103、b
104、cosα－
105、c
106、cosβ）=0.∴
107、a
108、=0或
109、b
110、cosα=
111、c
112、cosβ.当b≠c时，
113、
114、b
115、cosα与
116、c
117、cosβ可能相等.∴（2）不正确.（3）（a·b）c=（
118、a
119、
120、b
121、cosα）c，a（b·c）=a
122、b
123、
124、c
125、cosθ（其中α、θ分别为a与b，b与c的夹角）.（a·b）c是与c共线的向量，a（b·c）是与a共线的向量.∴（3）不正确.（4）正确.评述：判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义，向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律.【例2】平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上的一个动点.（1）当·取最小值时，求的坐标；（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值.剖析：因为点X在直线
126、OP上，向量与共线，可以得到关于坐标的
