高考第一轮复习数学52向量的数量积

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1、5.2向量的数量积●知识梳理1.数量积的概念：（1）向量的夹角：如下图，已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉.（2）数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b=

6、a

7、

8、b

9、cosθ.（3）数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影

10、b

11、cosθ的乘积.2.数量积的性质：设e是单位向量，〈a，e〉=θ.（1）e·a=a·e=

12、a

13、cosθ.（2）当a与b同向时，a·b=

14、a

15、

16、b

17、；

18、当a与b反向时，a·b=－

19、a

20、

21、b

22、，特别地，a·a=

23、a

24、2，或

25、a

26、=.（3）a⊥ba·b=0.（4）cosθ=.（5）

27、a·b

28、≤

29、a

30、

31、b

32、.3.运算律：（1）a·b=b·a；（2）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）；（3）（a+b）·c=a·c+b·c.4.向量数量积的坐标运算：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则（1）a·b=x1x2+y1y2；（2）

33、a

34、=；（3）cos〈a，b〉=；（4）a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0.思考讨论（a·b）c与a（b·c）是否相等?●点击双基1.（2004年全国Ⅰ，3）已知a、

35、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么

36、a+3b

37、等于A.B.C.D.4解析：

38、a+3b

39、====.答案：C2.若向量a与b的夹角为60°，

40、b

41、=4，（a+2b）·（a－3b）=－72，则向量a的模是A.2B.4C.6D.12解析：（a+2b）·（a－3b）=

42、a

43、2－

44、a

45、

46、b

47、cos60°－6

48、b

49、2=

50、a

51、2－2

52、a

53、－96=－72，∴

54、a

55、2－2

56、a

57、－24=0.∴（

58、a

59、－6）·（

60、a

61、+4）=0.∴

62、a

63、=6.答案：C3.已知a=（λ，2），b=（－3，5），且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是A.λ＞B.λ≥C.λ＜D.λ≤解析

64、：∵a与b的夹角为钝角，∴cos〈a，b〉＜0.∴a·b＜0.∴－3λ+10＜0.∴λ＞.答案：A4.（2004年上海，6）（理）已知点A（1，－2），若向量与a=（2，3）同向，

65、

66、=2，则点B的坐标为____________.解析：设A点坐标为（xA，yA），B点坐标为（xB，yB）.∵与a同向，∴可设=λa=（2λ，3λ）（λ＞0）.∴

67、

68、==2，∴λ=2.则=（xB－xA，yB－yA）=（4，6），∴∵∴∴B点坐标为（5，4）.答案：（5，4）（文）已知点A（－1，－5）和向量a=（2，3），若=3a，则点B的坐标为____________

69、.解析：设B点坐标为（xB，yB），则=（xB+1，yB+5）=3a=（6，9），∴∴∴B（5，4）.答案：（5，4）●典例剖析【例1】判断下列各命题正确与否：（1）若a≠0，a·b=a·c，则b=c；（2）若a·b=a·c，则b≠c当且仅当a=0时成立；（3）（a·b）c=a（b·c）对任意向量a、b、c都成立；（4）对任一向量a，有a2=

70、a

71、2.剖析：（1）（2）可由数量积的定义判断.（3）通过计算判断.（4）把a2转化成a·a=

72、a

73、2可判断.解：（1）a·b=a·c，∴

74、a

75、

76、b

77、cosα=

78、a

79、

80、c

81、cosβ（其中α、β分别为a与b，a

82、与c的夹角）.∵

83、a

84、≠0，∴

85、b

86、cosα=

87、c

88、cosβ.∵cosα与cosβ不一定相等，∴

89、b

90、与

91、c

92、不一定相等.∴b与c也不一定相等.∴（1）不正确.（2）若a·b=a·c，则

93、a

94、

95、b

96、cosα=

97、a

98、

99、c

100、cosβ（α、β为a与b，a与c的夹角）.∴

101、a

102、（

103、b

104、cosα－

105、c

106、cosβ）=0.∴

107、a

108、=0或

109、b

110、cosα=

111、c

112、cosβ.当b≠c时，

113、b

114、cosα与

115、c

116、cosβ可能相等.∴（2）不正确.（3）（a·b）c=（

117、a

118、

119、b

120、cosα）c，a（b·c）=a

121、b

122、

123、c

124、cosθ（其中α、θ分别为a与b，b与c的夹角）.（a

125、·b）c是与c共线的向量，a（b·c）是与a共线的向量.∴（3）不正确.（4）正确.评述：判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义，向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律.【例2】平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上的一个动点.（1）当·取最小值时，求的坐标；（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值.剖析：因为点X在直线OP上，向量与共线，可以得到关于坐标的一个关系式，再根据·的最小值，求得的坐标，而cos∠AXB是与夹角的余弦，利用数量积的知识易解决.解：（1）设=（x，y），∵点X在直

126、线OP上，∴向量与共线.又=（2，1），∴x－2y=0，即x=2y.∴=（2y，y）.又=－，=（1，7），∴=（1－2y