2016届高考数学一轮复习 4.3平面向量的数量积练习 理

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1、第三节平面向量的数量积Ｋ一、平面向量的数量积的定义1．向量a，b的夹角：已知两个非零向量a，b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a，b的夹角．当且仅当两个非零向量a，b同方向时，θ＝0°，当且仅当a，b反方向时，θ＝180°，同时零向量与其他任何非零向量的夹角是任意的．2．a与b垂直：如果a，b的夹角为90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.3．a与b的数量积：两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，则cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝cosθ，规定0·a＝0，非零向量a与b当且仅当a⊥b时，θ＝90°，

2、这时a·b＝0.4．b在a方向上的投影：OP＝cosθ∈R(注意是射影)．5．a·b的几何意义：a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积．二、平面向量数量积的性质设a，b是两个非零向量，e是单位向量，于是有：1．e·a＝a·e＝cosθ.2．a⊥b⇔a·b＝0.3．当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝－，特别地，a·a＝a2＝，即a＝.4．cosθ＝.5.≤.三、平面向量数量积的运算律1．交换律成立：a·b＝b·a.2．对实数的结合律成立：·b＝λ＝a·.3．分配律成立：·c＝a·c±b·c＝c·.四、平面向量数量积的坐标表示1．若a＝

3、(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.2．若a＝(x，y)，则a2＝a·a＝x2＋y2，＝.3．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝.4．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.5．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.6．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝.Ｋ1．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，1)，则(λa＋b)⊥(a－λb)的充要条件是(A)A．λ∈RB．λ＝0C．λ＝2D．λ＝±1解析：先求(λa＋b)，(a－λb)

4、的坐标，再由两向量垂直则数量积为零，列等式求λ.(λa＋b)＝(λ－2，2λ＋1)，(a－λb)＝(1＋2λ，2－λ)，因为(λa＋b)⊥(a－λb)，所以(λ－2)(1＋2λ)＋(2λ＋1)(2－λ)＝0，得λ∈R，故选A.2．已知a＝(1，2)，b＝(0，1)，c＝(k，－2)，若(a＋2b)⊥c，则k＝(C)A．2B．－2C．8D．－8解析：∵a＝(1，2)，b＝(0，1)，∴a＋2b＝(1，4)，又因为(a＋2b)⊥c，所以(a＋2b)·c＝k－8＝0，解得k＝8，故选C.3．在△ABC中，已知·＝4，·＝－12，则＝4．解析：∵·＝4，∴bcc

5、osA＝＝4，得b2＋c2－a2＝8，同理a2＋c2－b2＝24，两式相加得c2＝16，∴c＝4.4．已知平面向量α，β，＝1，＝2，α⊥(α－2β)，则的值是．高考方向1.数量积的运算、投影、模与夹角是近几年高考命题的热点.2.常与三角函数、三角恒等变换、解析几何等相结合考查.3.题型主要以选择题、填空题为主，属中档题.1．(2013·陕西卷)设a，b为向量，则“a·b＝ab”是“a∥b”的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：a·b＝a·b·cosθ.若a·b＝a·b⇒cosθ＝±1，则向量a与b的夹角为

6、0或π，即a∥b为真；相反，若a∥b，则向量a与b的夹角为0或π，即a·b＝a·b.2．(2013·山东卷)已知向量与的夹角为120°，且＝3，＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为．解析：由⊥知·＝0，即·＝(λ＋)·(－)＝(λ－1)·－λ2＋2＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，解得λ＝.1．已知两个非零向量a与b，定义a×b＝absinθ，其中θ为a与b的夹角．若a＝(－3，4)，b＝(0，2)，则a×b的值为(D)A．－8B．－6C．8D．6解析：由已知可得a＝5，b＝2，则cosθ＝＝＝.∴sinθ＝.∴a×b＝absinθ＝5×2×＝6.

7、故选D.2．(2014·南京三模)在平面直角坐标系xOy中，已知＝(3，－1)，＝(0，2)，若·＝0，＝λ，则实数λ的值为2．课时作业1．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为(D)A．－B.C．2D．6解析：由a·b＝3×2＋m×(－1)＝0，解得m＝6.故选D.2．已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是(D)A．x＝－B．x＝－1C．x＝5D．x＝0解析：因为向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，a⊥b，所以2(x－1)＋2＝0，解得x＝0.故选D.3．若向量a＝(1，1)，b＝(2，5)，c

8、＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝(C)A．6B．5C．4D．